연속과 미분 가능성에 대해 질문합니다
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여기서 1,3은 맞고 2는 틀렸는데요 (극한값은 수렴한다고 가정)
1, 3번은 함수의 극한을 통해서 증명이 가능하다는데 혼자서는 도저히 안되네요
2번은 반례를 못 찾겠습니다
해결 좀 부탁드립니다
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1. f(x) = x-1 이라 하고, g(x) = 1/(x-1)^2 이라 하면, f(x) 는 x = 1 에서 연속이고 g(x)는 x = 1 에서 불연속입니다.
이 때 y = f(x)g(x) = 1/(x-1) 가 x = 1 에서 연속이 되려면 f(1) = 0 이기만 하면 된다?
1번 참 맞나요?? ㅠㅠ
제가 극한값은 수렴한다고 가정했어요
g(x)가 발산하면 1번이 성립이 안 되거든요
엌ㅋ님께서 드신 예에서 g(x)는 양의 무한대로 발산합니다
안녕하세요 Clairaudient입니다
첫번째 명제에서
f(x)가 x=a에서 0이 아니라고 가정합시다. f(a)=b(=/=0)
이경우 g(x)의 불연속 조건에 의해 여러가지 경우로 나눠 생각해야하는데
g(x)의 x에서의 좌극한을 c, 우극한을d, g(a)=e 라 합시다
f(x)는 연속이므로 좌우극한 함수값모두 b입니다.
f(x)g(x)의 좌우극한 함수값을 모두 서술하면
bc bd be 인데 연속조건에 의하면 연속하려면 좌우극한 함수값이 모두 일치해야합니다 ㅡ 극한을 취했을때 0으로 수렴ㅡ b는 0이 아니므로 세 값이 모두 일치 하기위해선 c=d=e여야 합니다. 허나 이는 g(x)의 불연속 조건을 만족하지 못합니다. 따라서 가정이 모순이되며 f(x)의 x=a에서의 값이 0이되어야합니다.
HalfMoon 님께서 사용한 증명은 f(a) 가 0 이 아니라고 가정했을 때 f(x)g(x) 는 x=a 에서 연속일 수 없다는 것을 증명하셨는데, 이것으로 알 수 있는건 f(x)g(x) 가 x=a에서 연속이면 f(a) = 0 이라는 사실일 뿐이지 (대우명제로써) f(a) = 0 이기만 하면 f(x)g(x)가 연속이라는 뜻이 아니지여...
f(x)g(x) 는 f(a) = 0 이 아니면 절대 연속일 수 없습니다. 그러나 f(a) = 0 이라고 하여 항상 연속인 것도 아니지여 제 윗 댓글을 보시면 f(1) = 0 인데 f(x) 와 g(x)가 조건과 같이 주어질 경우 f(x)g(x)가 x=1에서 연속이 아니지 않습니까?
뭐..
g(x)가 a에서 값이 존재하지않으면
제 증명은 타당치않겠네요.
g(x)가 수렴한다는 조건도 첨부되야 제 증명이 맞겠네요. 시정하겠습니다.
2번은 f=-x^2 g=-x (x<0),x^-2(x>0) 로 두면 0에서 미분불능해요
미분가능성 lim x->a f(x)g(x)-f(a)g(a)/x-a 에서 f(a)=0 이므로
f(a)g(a)=0이고 f(a)g(x)=0 이므로 분자에 더해주면 lim x->a g(x){f(x)-f(a)}/x-a 인데
lim x->a f(x)-f(a)}/x-a 이니까 f ' (a)=0 이라는 조건이 있어야겠죠... 미분가능하지 않다가
극한값의 존재까지 장담해주지는 못하니깐요?아닌가 ㅋㅋ
2번은 간단히 f(x) = x-1 이라 하고 g(x) 는 x<1 일때 -1, x=1 일때 0, x>1 일때 1 이라 하면 f(x)g(x)는 x=1을 꼭지점으로 하는 v자 모양이 됩니다. x=1에서 미분 불가능하죠. 하지만 f(1) = 0 입니다.
2번 명제는
f[x)의 도함수가 미분가능이며 g(x)는 미분불가라고 합니다
f(x)g(x)가 미분가능하기위해선
1.f(x)g(x)가 연속하고
2.평균변화율의 좌우극한값이 서로같고 수렴해야합니다.
이의 조건을 따져보면
g(x)의 미분불가능 조건 덕에, g(x)가 불연속이라 미분불가인지 첨점존재에의해 불가인지 알수없습니다.
즉, f(x)가 a근방에서 0이어도
평균변화율의 정의에 따라서
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) /h = f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x) +f(x+h)g(x)-f(x)g(x) /h
아 귀찮네요 그냥 반례드는게 빠를 듯합니다 죄송..
3번은 사실 그냥 직관적으로 생각해보면... 편합니다
g(x) 가 x = a 에서 연속이지만 미분이 불가능하면 첨점이 존재한다는 소리입니다.
이 때 f(a) = 0 이면 f(x)g(x)에서 g(x) 의 x = a 에서의 극한값은 상수이고, f(x) 의 x = a 에서의 극한값은 0 이므로 f(x)g(x)의 x = a 에서의 극한값도 0이져 당근 함숫값도 0 입니다 그니까 미분가능 ㅋ
첨점이 뭔가요?
함수의 그래프에서 미분 불가능한 뾰족한 점을 말합니다 ㅋ
1번 문제가 참이 아니었나요?
전 책에 있던 내용을 그대로 옮긴 거라서요...
여기서 가장 궁금한 건 3번 명제의 증명인데
귀찮으시더라도 극한으로 증명해주셨으면 좋겠어요...
3. f(x)는 x = a 에서 미분가능하고 g(x)는 x = a 에서 연속이지만
미분불가능할 때
y = f(x)g(x) 가 x = a 에서 미분가능하려면 f(a) = 0 이기만 하면 된다.
f(a) = 0 이라고 가정합니다.
f(x)g(x) 가 x = a 에서 미분가능하려면 f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 가 x=a 에서 좌우극한값이 같으면 됩니다.
먼저 x = a 에서의 좌극한은 lim x→a-0 f'(x)g(x) 입니다. (lim x→a-0 f(x) = 0 이고, lim x→a-0 g(a)=c (단, c는 상수) 이므로)
x = a 에서의 우극한은 lim x→a+0 f'(x)g(x) 입니다. (마찬가지로 lim x→a+0 f(x) = 0 이고, lim x→a+0 g(a)=c' (단, c'은 상수) 이므로)
이 때 f(x) 는 x = a 에서 미분 가능하므로 f'(x) 가 x = a 에서 연속이고, g(x)도 x = a 에서 연속이므로
x = a 에서 연속인 두 함수를 곱하였으므로 f'(x)g(x) 도 x = a 에서 연속입니다. 따라서 좌우극한이 같으므로
f(x)g(x) 는 x = a 에서 미분가능합니다.
엄청 간단하게 되네요... 감사합니다
근데 f(x)g(x)가 미분 가능한 지 모르는 상태에서 바로 f'(x)g(x) + f(x)g'(x)로 넘어가서 증명해도 되는 건가요?
음... 그리고 lim(h->0) f(h)g(h) / h 이런 식으로 식변형해서 증명도 가능할까요?
f(x)g(x) 의 x = a 에서의 도함수값은 lim d→0 {f(a+d)g(a+d)-f(a)g(a)}/d.
이 값이 존재하면, f(x)g(x) 가 x = a 에서 미분가능하다. 이 때 f(a) = 0 이므로 f(a)g(a) 의 값은 생각하지 않는다.
= lim d→0 f(a+d)g(a+d)/d 이고 f(a) = 0 이므로
lim d→0 {f(a+d)-f(a)/d} * g(a+d)} = {lim d→0 f(a+d)-f(a)/d}*{lim d→0 g(a+d)} (각각의 극한값이 수렴하므로)
= f'(a)g(a)
이 대 f(x) 는 x = a 에서 미분가능하고 g(x) 는 a 에서 연속이므로 f'(a) 와 g(a) 값이 모두 존재.
따라서 f'(a)g(a) 가 존재하므로 f(x)g(x) 는 x=a 에서 미분가능.
정말 감사합니다!!
근데 마지지막으로 하나만 질문 드릴게요
따라서 f'(a)g(a) 가 존재하므로 f(x)g(x) 는 x=a 에서 미분가능
이 부분이 이해가 잘 안 갑니다....
아무래도 1번2번 틀리고 3번만 맞는거같아여 ㅠㅠ 3번은 걍 곱한게 미분가능하려면 한개가 그 점에서 0으로 미분가능하면 곱한애를 0으로 만들어줘서 함수가 부드럽게 됨 ㅋㅋ
제가 조건에서 극한값이 수렴한다고 가정했어요
수렴한다는 조건 이라면 1번도 맞는 것 아닌가요?
함수값이 존재해야죠
g(x)가 정의불가하면 말짱꽝입니다.
네 알겠습니다
1번의 경우 극한값외에도 함수값이 존재해야합니다.
그래야 참
모두 감사드립니다
근데 3번 문제 극한의 정의로 증명해주실 분은 안 계신가요...?
제가 혼자 계속 해보고 있는데 안 되네요
달았음 ㅋ
마타하리님 죄송하지만 글 다보시면 글 폭해주시면 안될까요?
탈르비했는데 너무 신경쓰이네요..
무례한 부탁 죄송합니다...
나중에 폭파해드릴게요
아직 완벽하게 원하는 답을 못 얻어서요...