0.999...=1인건 이해 가는데 무한등비급수가..한 사람 살리는 셈치고 제발 도와주세요!!!
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0.999...=1이라는 걸 정말 오랫동안 납득 못하다가 드디어 이해가 갔는데요.
0.999...는 단지 9가 무한히 늘어서 있는 것을 나타낸 것이지 0.9, 0.99, 0.999, ...와 같이 계속 1에 가까이 다가가는 상태를 나타낸게 아니기 때문에 1이라는 게 이해가 가는데요.
즉, 수열 An에서 n이 한없이 커질 때, 일반항 An이 a에 수렴한다고 하면 An은 a와 다른 값을 갖으면서 a에 한없이 가까이 가는 것이지만 An이 가까이 가는 수를 나타낸 "극한값'은 a와 정확히 같다는 것이잖아요. 그렇게 보면 위에 0.999...도 이런 고정된 수인 "극한값"인 거구요.
근데요 그럼 하나가 걸리는 게, 우리가 첫째 항이 1/2고 공비도 1/2인 무한수열An의 무한급수는 1에 수렴한다고 하잖아요?이 무한등비급수를 시그마 n이 한없이 커질 때 An은 1과 같다라고 표현하잖아요?(제가 기호를 못 쓰게 써서 죄송합니다.) 그리고 또 이것을 1/2+(1/2)2+(1/2)3+...(이 식을 1번 식이라고 하겠습니다.)라고 표현하잖아요?
근데 1번 식은 위에서 극한 설명할 때 "a와 다른 값을 갖으면서 a에 가까이 간다"라고 한 것처럼 극한 때와 같이 lim기호가 앞에 붙어 있는 것이 아니니 단지 1은 아니지만 계속 1에 가까이 가는 상태아닌가요? 그런데 1번 식을 교과서나 모든 교재에서 그냥 1과 같다라고 하잖아요?
제발 이해가 갈 수 있게 도와주세요!!
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극한값은 가까이 다가가는 상태 따위가 아니라 그냥 그 목적지값을 가리키는 개념입니다. 다가가는 상태자체를 하나의 개념으로써 대수적으로 다루는 것은 생각보다 훨씬 어렵고 복잡하기 때문에, 우리는 그보다 훨씬 더 간단한 개념인 '이상적인 목적지'의 개념을 가용하고, 그것이 극한입니다. 즉 극한은 극한을 취하기 전의 수열 혹은 함수가 어떤 값과 충분히 가까워지는 행동을 보일 때 그 행동의 종착지(=목적지)에 해당하는 이상적인 값을 취하는 개념입니다.
그리고 ...은 보통 무한급수를 좀 더 직관적으로 표현하기 위한 생략기호일 뿐, 그 본질은 여전히 부분합의 극한입니다. 다른 개념이 아닙니다.
sos440님 정말 답변 감사드려요!! 근데요 저도 위에서 썼다시피 극한값은 sos님께서 말하신 그대로 가까이 다가가는 상태가 아니라 그 목적지값을 가리킨다는 것을 아는데요. 문제는요 그게 목적지값을 나타내는 극한값이라는 것을 나타내기 위해 lim같은 기호를 붙이잖아요? 근데 무한급수같은 경우는 기호 없이 1/2+(1/2)2+(1/2)3+...와 같이 나타내고도 1과 같다고 하잖아요? 이것은 기호가 없는 상태로는 하나의 고정된 수이기 보단 그냥 계속 더해져서 커지는 상태 아닌가요? 예를 들어서 lim n이 한없이 커질때 수열 1+1/n은 1에 한없이 다가가잖아요? 그렇다고 1에 결국 도달하는 것은 아니잖아요? 하지만 가까워지는 목적지를 lim 기호를 붙이므로서 고정된 값이 1과 같다고 등호를 붙이잖아요?근데 위에 무한급수의 예는 이런 기호도 없이 수열의 합의 모양으로만 나타내면 상태만을 표현한 것 아닌가요?
a_1 + a_2 + a_3 + ... 이라는 표현은 무한급수를 표현하는 하나의 방법일 뿐입니다. 즉, 정의 자체가 수열 (a_n)의 무한급수입니다. 간혹 무한급수를 시그마를 쓰지 않고 저렇게 적는 이유는, 일반항의 실제 예들을 보여줌으로써 급수의 행동을 더욱 잘 보여주기 위함이지요.
sos440님 그렇다면 a_1 + a_2 + a_3 + ... 라는 식은 (b라는 수에 수렴한다라고 가정하였을 때) b에 가까이 다가가는 게 상태의 식이 아니라 그냥 b 자체라는 건가요??
그렇다면 1/2+(1/2)²+...같이 계속 더하면 1은 될 수 없지만 1에 한없이 가까이 가는 것이 아니라 그냥 1이 되버린다는 건가요?
네, 정확히 그 의미입니다.
감사합니다♡ sos440님은 정말 훌륭한 분이십니다.