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쿠아일러 [813863] · MS 2018 · 쪽지

2020-06-12 16:19:43
조회수 7,823

수학 칼럼(9)-로피탈 정리

게시글 주소: https://spica.orbi.kr/00030600029

우선 로피탈 정리를 보겠습니다.



요약히면




입니다. 등식의 좌우를 바꿔보겠습니다. 



분수꼴의 함수의 극한값을 분모,분자 각각 미분한 뒤 극한값을 쉽게 찾는 방법이 로피탈 정리라면 그 역 과정도 가능하다는 얘기가 되겠습니다. 로피탈 과정의 역과정이므로 역 로피탈의 방법이라 하겠습니다. (정리라고 하기에는... 공식 용어인지는 모르겠습니다.)


다음 문제를 보겠습니다.


 

함수의 극한의 가장 기본 문제가 아닐까 싶습니다.

풀이는 인수분해/약분 으로 

이것을 로피탈로는 


입니다. 이것을 역 방향 로피탈로 풀어보면 다음과 같습니다.

분수식의 각함수를 부정적분 하였으므로 적분 상수가 생기는 데 0/0 꼴 이 되기위한 적분 상수 C1, C2는 쉽게 결정할 수 있습니다. 

왜 이렇게 풀지? 네 이렇게 안 풀어도 됩니다. 칼럼이니 참고사항정도로 생각해 주시면 감사하겠습니다.


lim sinx/x =1입니다. 같은 방법으로 로피탈, 역방향 순으로 적용해 보겠습니다.


0분의 0꼴 또는 무한 분의 무한 꼴만 되느냐?

그건 아닙니다. 다음과 같이 0곱하기 무한대 꼴에서도 적용해 보겠습니다.



물론 분수꼴로 고치면 0/0 꼴이 됩니다. 같은 거란 얘기죠...우선 풀이는 다음과 같습니다.



로피탈 정리를 이용하기 위해 분수꼴로 고치겠습니다.

역 방향 로피탈 방벙으로는 다음과 같이 더 복잡합니다.


적분 상수 C1, C2는 위에서도 언급했듯이 쉽게 구할 수 있습니다.

오히려 풀이 과정이 더 복잡한데 궅이 알 필요가 있을까?


역방향 로피탈 방법으로 풀 때 편리할 때가 있습니다.

분수꼴의 함수에 도함수(f'(x)) 가 포함되어 있거나 분수꼴로 변형했을 때 적분과정 간단한 함수들은 역방향으로 진행하는게 계산상 훨씬 간단합니다.

지금 부터 그런 문제에 대해 얘기해 보겠습니다.

위의 문제들에서 역방향 풀이를 보여야 다음 문제들의 풀이가 이해가 될거 같아 나름 노가다 해 보았습니다.



극한에 도함수가 포함되어 있습니다. 이런 경우는 역방향으로 가도 간단합니다.

위 풀이들 처럼 세 단계로 풀이를 올리겠습니다.





역시 로피탈 정리가 간단합니다.


그런데 역방향 이 그리 복잡하지 않습니다. 그래서 로피탈을 사용할거면 역방향까지 익히는게 사고력 확장에도 도움되리라 봅니다. 위의 풀이들 처럼 로피탈 정리를 이용해서 답만 구하는게 아니라 교육과정으로는 이렇게...로피탈로는 이렇게, 역방향으로는 이렇게...


그리고 역방향으로 진행했을 때 확실히 간단한 풀이가 되는 문항들이 있습니다. 문제들이 어려울수록..

다음 문제를 보겠습니다.


2018년도에 출시된 EBS 수능특강 미적분2 4단원 레벨3 문제입니다. 문제가 잘 안 보여서 타이핑 쳤습니다.


EBS에서 제공한 풀이는 길어서 생략하겠습니다, 직접 풀어보시면 더 좋겠습니다.


적분 상수를 구하는 방법, 풀이의 흐름 등은 이 글 위에서 부터 익혀왔으면 눈으로 볼 수 있는 풀이라 생각됩니다.

역방향 로피탈 방법이었습니다.


역로피탈 방법이 최적화된 풀이가 되는 문제가 있습니다. 바로

2018학년도 6월 모평 21번!!


바로 이 문항으로 인해 한 때 핫 했던 방법이라 생각됩니다. 평가원에서 다시 낼리는 없겠지만 학교 내신 에는 자주 등장하므로 현역들은 익혀두는 것이 좋다는 생각입니다. 이번 6월 모평 대비로 정현경 선생님과 제작한 어썸&랑데뷰 6평 대비 21번에도 그래서 변형 문항을 탑재해 뒀습니다. 이 칼럼과 매치 시키기 위해.. 


좀 더 빨리 칼럼을 썼어야 했는데..

다른 일로 바뻤기도 했지만 별 인기도 없는글이라 생각되어 크게 글을 쓰고 싶은 맘이 안 들더군요..


이번달이 가기 전에 2021 수능대비 어썸&랑데뷰 모의고사가 오르비에서 출판됩니다. 거기에 맞춰 칼럼을 써 보기로 맘먹었답니다. 10회까지는 제작하기로!!

잡언이 길었네요. 



평가원은 풀이를 제시하지 않습니다. 이 문제에 대한 풀이는 당시 엄청 길었습니다.(EBS풀이)

그래서칼럼에 싣기에는 적적하지 않아 생략하도록 하겠습니다.

이 문제에 대한 로피탈 정리를 이용한 풀이입니다.



쉽지 않습니다. 그럼 역방향으로는?

다음과 같습니다.


풀이에서 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로 f(x)=(x-1)^3(x+k)이다.

라고 되어 있는 부분에 대한 질문이 많습니다. 주어진 식을 직접 극한 식의 분자에 대입해 보면 이해가 될거 같습니다.

로그 극한에 대해 칼럼에서 다루고 진행했음 좋았을걸 싶은데 그럼 글이 너무 길어져서 이정도로 마무리 하겠습니다.


그리고 위 문제에 대한 또다른 풀이입니다. 로피탈과는 상관없는데 관심있는 분은 보시라고 올립니다.



마지막으로 Quiz입니다.

위 EBS 문제 변형입니다. 역방향으로 도전해 보십시오~~




2021 파이널 모의고사 어썸&랑데뷰 (어랑 모의고사) 기대해 주십시오~~


저는 랑데뷰 수학 황보백 선생입니다.




















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