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설수교 [357512] · MS 2010 · 쪽지

2012-12-25 21:30:08
조회수 6,301

일대일대응/증가함수/감소함수 간의 관계

게시글 주소: https://spica.orbi.kr/0003424467

-일대일대응/증가함수/감소함수의 정의


이 정의들을 보고 나서, 이런 생각이 들 수 있습니다.



꽤 그럴듯한 설명인데, 과연 맞을까요?


정답은












틀렸습니다. 


즉, 이런 상황이 있다는 것입니다.



이걸 읽으면서 잘 이해가 안 됐다면 아마 머리 속에 이런 그래프를 떠올리셨을지도 모르겠네요.


'위의 설명이 이런 상황을 말하는 거 아닌가? 그런데 이러면 일대일대응이 아닌데?' 라구요


하지만 이런 그래프를 그렸을 때, 암묵적으로 이 그래프가 '연속'임을 인정한 겁니다. 안 끊기고 이어지니까요.


따라서 '불연속'일 때도 살펴봐야겠죠. 불연속함수에 대해서는 다음과 같은 함수가 위의 설명을 만족합니다.

이 함수는 일대일대응임이 확실하죠. 그렇지만 증가함수도, 감소함수도 아닙니다.


따라서, 가 결론입니다.



그렇다면 '연속'일 때는 일대일대응이면 증가함수이거나 감소함수일까요?


정답은 '그렇다'입니다. 그럼 연속일 때는 왜 성립하는지 한 번 증명해보겠습니다.






이 증명의 아이디어는

라는 사실이 '연속'일때는 성립하지 않음을 보이는 것이었습니다.


즉, 위의 사실을 만족하는 예가 연속일 때는 존재하지 않는다는 것으로 출발한 증명이었습니다.


이처럼 어떤 명제의 반례가 없음을 보이는 것이 귀류법입니다.


무조건 결론을 부정해서 모순임을 보이는 것만 귀류법이라고 생각하는 것보다 이렇게 생각하는 것이 더 유용할 듯 싶습니다.





-참고자료: 고등학교 수학 (성지출판)

                SKY PASS (오르비북스)

                doopedia 두산백과

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