역함수 정적분 궁금한거
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y = f(x)의 역함수가 y = g(x) 일 때
f(a) = A , f(b) = B 를 만족한다. ( a < b , A < B )
이때
[ 인테그럴 a 부터 b까지 f(x) dx ] + [ 인테그럴 A 부터 B 까지 g(x) dx ] 의 값
을 구하는게 문제입니다.. 님들도 여러번 보셨을거 같고요 답은 항상 bB - aA 였습니다
그런데 저는 이거풀때 [ 인테그럴 A 부터 B 까지 g(x) dx ] 를
[ 인테그럴 A 부터 B 까지 g(y) dy ] 로 항상 고쳐서 풀었거든요
y = f(x) 를, y축을 정의역으로 보고 x = g(y) 이렇게 바꿔서 푼거에요
그래프를 그려보면 바로 bB - aA 임을 알수 있고요..
그런데 이게 1사분면 말고 다른 사분면에 함수가 있을때, 또는 감소함수일 때도 항상
bB - aA 가 답인가요?
그래프 말고 수식으로 증명좀 해주세요 ㅠㅠ
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네 맞습니다.
치환적분을 이용해서 증명해보면요
인테그랄 a에서 b f(x) dx + 인테그랄 A 에서 B g(x) dx
에서 뒷부분
인테그랄 A에서 B g(x) dx 는
인테그랄 A에서 B g(y) dy이고
여기서 y를 f(x)로 치환하면
A = f(a) , B = f(b) , dy=f ' (x) dx이고 g(f(x)) = x 이니까
인테그랄 a에서 b x•f ' (x) dx로 바뀌고
첫식에 넣어서 합치면
인테그랄 a 에서 b { f(x) + x•f ' (x) } dx 이고
적분하면 [ x • f(x) ] a에서 b 니까
대입하시면
bB - aA 가 나옵니다 .
허접한답변 죄송.ㅜㅜ
http://blog.naver.com/buljt/10153546810
관련된 문제와 더불어 질문하신 부분에 대한 답변이 있습니다. 참고로 제 블로그입니다 히히