[박재우T] 안녕하세요
안녕하세요. 박재우T 입니다.
라스합시다 ^^
오늘은 과거에 쓴 글인데 세월이 좀 지나서 도움이 되는 내용이라 다시 한 번 재업을 합니다.
요즘은 기하 문제에서는 어려운 공간도형 문제는 잘 안나오죠 ?
물론 아직 활자화되지 않아서 예상 난이도가 어렵다 안 어렵다 단정지을 수는 없지만
과거보다는 쉬워진 것은 확실합니다.
공간도향 문제에서 정사영이 갖는 여러가지 측면의 솔루션들 중 과거에 썼던 괜찮은 정리를
다시 한번 소개하고자 합니다.
아래 부분은 과거에 올렸던 부분과 동일합니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ?
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
예전에 이런 문제가 나온 적이 있었죠.
기억나시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
다들 안심하시길..
-
수능 이렇게 나오면 뒤지게욕먹는다
-
기하 73 아 엿갓네 282930 졸라어렵고
-
미적분 개념인강 0
여름방학에 미적분 개념 돌릴건데 시발점 볼륨이 엄청 크더라고요 그래서 김기현쌤...
-
더프봤습니다
-
미적분, 수1, 수2 ,워크북 박스도 안깠는데 구매하실 분 계신가요?? 싸게 팔아요
-
7덮 72나옴;;
-
이쯤되면 언독문 한번 시도해볼까요 요새 사설이든 모고든 계속 문학이 어려우니까 엄청...
-
이렇게까지 공통 미적 난이도 차이나는 시험 처음 봄 공통은 무슨 학평인가 의심할...
-
더프 결과 2
화작 78 확통 84 영어 88 사문 44 정법 39 ㅠㅠ
-
7덮도 27까지 풀고 28 29 30 손도 못대고 끝남
-
그것만 피하자
-
복학 드가자~
-
생윤 9번 0
소거법으로 간신히 풀었네 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
9ㅁ9ㅁ9ㅁ9=7 괄호가능, 연산기호 한번씩만 중복 안됨. 안풀림 ㅅㅂ
-
그림그린거봐 와...죽이고싶네
-
화학 1
답좀 알려주실분 ㅠㅠㅠ
-
더프 점수 결산 20
화작 89 확통 85 영어 78 정법 50 사문 42 개 좆됐다 수학 탐구
-
진짜 뒤질거 같다 다른 말 할게 없다
-
나 작년9평 수능 수필풀면서 어렵다는 생각 한번도 안해봤는데 문의당기 친구...
-
일까요
-
요즘 내가 왜 이러지 시발 이렇게 문학 틀리는 애가 아니였는데 문학 존나 틀림
-
더프수학21번 4
나만176나옴?
-
국어 1컷 70점대 본다 반박시 현역
-
직관이라고도 할수있을거같은데 머릿속으로 상상해보는게 너무 안되는듯
-
직장병행 최저러 커리 조언 부탁드립니다. (메가패스) 0
안녕하세요. 국영과 3합 5 최저 충족이 목표인 직장인입니다. 평일에는 하루...
-
7덮 0
보고나니까 정신이 차려진다 수능때까지 빡세게 공부하자 다들 홧팅
-
과외생들이 연락을 안 보내요..
-
더프 점수 와이라노
-
안녕하세요 사반수생 수학 선택과목 조언 부탁드립니다. 0
안녕하세요 얼마전에 문디컬 목표로 반수를 결정하게 된 사반수생입니다. 현역때 외대에...
-
역대급이었음... 사문 공부... 해야겠지?
-
ㅈㄹ하지말고 진짜로?
-
국어를 제일 잘봄 ㅈ같다
-
4등급이면 얻어갈거 있나요 점심시간에 심심해서 들어보려고함
-
진지하게 전과목 어려웠음 특히 지구물리 개어려움
-
왜 안들가짐
-
빡센거같은데
-
진로, 회사, 취업, 대학생활 등 다 괜찮습니다~ ㅎㅎ
-
ㅋㅋ 본인이 사교육계 떠난다고 했으면서 이제와서 남들이 제명시켰다는 냥...
-
7덮 시발 아 7
내가 시발 작년 국어 백분위 95나올정도는 되는데 국어 63점은 처음받아보네 수학은...
-
다들 수고. 0
진짜 힘들다,,,
-
수고하셨어요 다시 가세요
-
강대모의고사 빌보드 한번 들었다고 자만하지 말라는 뜻인가
-
수능 닝닝하다~~
-
7덮 수학 후기 8
85 (22 27 28 30) 한 줄 평: 미적 ㅈㄴ 어렵네 9 작수 10번인가처럼...
-
이문제 풀수있는 정도면 몇등급 정도같나요 노베 시작 커리큘럼 치고는 어려운거같은데...
-
실내에 오래 있으면 ㅈㄴ 추워서 후드집업 들고 다니는데 이런 사람 별로 없네
-
4번도 맞지 않음?싸우고 싶은데 참는거 4번 찍었으면 뭐가 문제임??
이런 좋은 칼럼 항상 감사드립ㄴㅣ다!