2022학년도 고3 7월 수학 22번 'long'cut (ft. 다항함수에서의 매클로린 급수)
2022학년도 고3 7월 수학 22번 ‘long’cut.pdf
의도치 않게 제목 그대로 'long'cut 풀이를 작성한 듯해서 공유합니다 ㅋㅋㅋ 문제 자체는 제 개인이 느끼기에 평가원에서 출제할 법한 느낌은 아닌 case 분류와 case 분류와 case 분류로 이루어진 그래프 개형 추론, 계수 결정 문제입니다. 다양한 shortcut 해설은 각자의 선생님, 유튜브 등을 참고하시면 좋을 것 같고 (물론 3개월 전 시험지라 이미 다 피드백이 끝나셨을테지만) '아 현장에서 운이 정말 좋지 않으면 이렇게까지 꼬일 수 있겠구나...'라는 마음에서 미리 독한 훈련을 한다는 느낌으로 읽어주시면 감사할 것 같습니다!
pdf 구성은 이러합니다.
1페이지: 문제 요약
2, 3페이지: 'long'cut 해설
4페이지: 다항함수에서의 매클로린 급수
다시 한 번 말씀드리지만 '아 현장에서 운이 정말 좋지 않으면 이렇게까지 꼬일 수 있겠구나...'라는 마음에서 미리 독한 훈련을 한다는 느낌으로 읽어주시면 감사할 것 같습니다!
사실은 4페이지 부분을 쓰고싶어서 해설을 쓰기 시작한 문제였는데 다 풀고 뭐 이리 길지 싶어 유튜브 영상 하나 찾아보니 정말 고려할 필요 없어보이는 것까지 다 고려하며 너무 원칙적으로 풀었던 것 같더라구요 ㅋㅋㅋㅠ 수능에 올인하는 태도를 벗어난 지 약 11개월이 된 시점에서 문제를 차분하게 살펴보는 능력이나 귀찮은 부분들을 직접 해결하려는 능력은 늘었지만 정답일 것 같은 case를 탁 찍어내는 등 본능적인 직관을 활용하는 능력은 확연히 줄어들었다는 생각을 할 수 있었습니다.
4페이지는 별 건 아니고 수2에서 학습하는 평균값 정리에서 선형대수에서 학습하는 테일러 정리, 테일러 급수, 매클로린 급수에 관한 간략한 설명과 함께 삼차함수에 있어 매클로린 급수를 적용한 꼴을 보여드리는 과정입니다. 문제를 보시면 아시겠지만 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d로 설정할 때 g(x)=cx이기 때문에 y=f'(0)*(x-0)+f(0)이 y=cx+d라는 걸 의식적으로 느낀다면 조금 더 친숙함과 함께 문제를 풀어갈 수 있을 거라는 생각에 정리해보고 싶었습니다. 여담이지만 제 고등학교 2학년 때 연세대 수학과 졸업하신 선생님께서 '다항함수에서의 테일러 전개'라는 이름으로 알려주셨던 부분을 이제서야 직접 '평균값 정리 -> 테일러 정리 -> 테일러 급수 -> 매클로린 급수 -> 다항함수에서의 매클로린 급수'의 순서로 증명해 받아들인 것 같아서 정리를 마친 후 기분이 좋았네요 ㅎㅎ
+풀이에서 서로 다른 형태의 식을 g(x)=ax 꼴임을 활용해 정리하는 과정에서 '삼차함수의 근과 계수의 관계'로 설명하는 분들이 있는 것 같습니다. 작년 3월인가 4월 고3 교육청 모의고사 미적분 30번 수열의 극한 문제에서도 '삼차함수의 근과 계수의 관계'를 활용해 풀이를 작성할 수 있었는데 평가원 시험에서는 몰라도 교육청 시험에서는 알아두면 쓸모 있는 내용 같습니다. 물론 평가원에서도 언제 중요하게 출제될지 모르니 수학(상) 내용들은 잘 정리해둘 필요가 있겠지만요!
+매클로린 급수라는 워딩 없이도 삼차함수 y=ax^3+bx^2+cx+d에 대해 dy/dxㅣx=0 = c, d^2y/dx^2ㅣx=0 / 2 = b 등을 직접 유도해볼 수 있습니다! 함수 y=f(x)의 양변을 x에 대해 미분한 것이 dy/dx=f'(x), 한 번 더 미분한 것이 d^2y/dx^2=f''(x)라는 점만 생각해보면 말이죠.
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피드백이나 질문은 즐겁게 받겠습니다, 편하게 남겨주시면 감사하겠습니다! 참고로 제가 풀이에 사용한 (제가 느끼는) 필연적 발상은 다음과 같습니다.
1. 절댓값 -> 안이 0이 될 때를 기준으로 case 분류
2. 둘 이상의 경우의 수 중 어느 것일지 모를 때 -> 하나씩 case 분류
3. 부호만 판단하면 될 때 -> 식 계산 다 하려하지 말기
+ 2가지 상황에 대해 한 상황을 가정해 그것이 모순임을 보이고 다른 상황이 참임을 보이는 귀류법과 비슷한 느낌은 2가지 상황 각각에 대한 case 분류를 진행해 하나씩 따져보는 것과 같다는 점에서 '둘 중 적어도 하나는 참인 2가지 상황에 대한 case 분류는 귀류법과 본질적으로 같다'라고 말할 수 있을 것 같다는 생각도 듭니다. 물론 이 문제처럼 단순한 그래프 개형 결정 정도에서 말이죠? 완전히 일반화할 수는 없을 것 같은데 추가적인 생각은 제가 수학과 복수전공에 성공한 후에야 해볼 수 있지 않을까 싶네요
대학수학을 배우면 수험생들이 푸는 킬러 문제도 새롭게 접근할 수 있겠군요!
결국 수능 수학을 출제하는 분들도 '수학적 사고력'을 측정하고자 할텐데 수학적 사고력은 고등 수학이나 대학 수학이나 본질적으로 차이가 없다고 느끼기에 대학 수학을 배우는 것이 대학생으로서 수능 킬러 문제를 해석하는 데에 도움도 되고 재미도 있을 수 있다는 것이 제 생각입니다! 이를테면 22수능21 같은 문제의 경우 저는 시도해보지 않았지만 이진수에 대한 이해가 있으면 쉽게 접근해 해결할 수 있다는 말을 들었던 것 같아요
정말 longcut이네요... 어려워요 ㅠㅠ
논리구조는 그리 어렵지 않습니다! 최근 평가원 기출에서 볼 수 있는 'A 조건에서 나올 수 있는 경우의 수를 B 조건이 확정짓는다'보다는 '우선 가정해보고 안되면 다른 길로' 가는 귀류법에 가까운 느낌이라고 생각했습니다. 그래서 처음 문제를 시작할 때 g(x)=f'(0)*x임을 이용하면 -f(x)+g(x)가 x^2을 인수로 가짐을 알 수 있고 따라서 (가) 조건에서 f(x)+g(x)가 ax(x-p)^2꼴로 작성됨을 확인할 수 있어요. 이후저는 p=12라고 가정해서 x=24라는 근이 존재하므로 모순임을 보이고 (이 과정에서 h(3)=-9/2를 활용하기 위해 f(3)>=0일 때와 f(3)<0일 때로 case 분류를 진행했어요) p<12를 얻어 p=6임과 (나) 조건을 만족시키는 (여기서도 h(3)=-9/2를 활용하기 위해 f(3)>=0일 때와 f(3)<0일 때로 case 분류를 진행했습니다!) 상황을 찾은 풀이입니다. 이처럼 길어보이고 어려워 보이는 문제에서는 수식 없이 해설의 중요한 부분들을 말로 설명하는 것도 좋은 공부 방법이라 느낍니다! 결국 단순화 하면 '식을 정리한 후 (가)를 활용해 인수 꼴로 식을 작성하고, (나)를 만족시키기 위해 우선 하나 찍어보니 (귀류법, case 분류) 모순이 되길래 다른 하나로 결정되었다'라는 별로 길지 않은 풀이니까요.
p.s. 10월 23일자 수업에 넣을지 고민하던 중입니다 ㅎㅎ
첫번째 시도하셨을때 나온 풀이인가요?
네 현장 풀이라고 쓰고싶었는데 현장에 직접 가서 응시한 것은 아니기 때문에 ‘첫인상 풀이..?’ 워딩 고민하다 따로 명시 없이 올렸어요