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M oㅇmin [1211935] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2023-02-05 10:36:15
조회수 14,243

칼럼2) 아마 당신이 처음 보는 수열 합 구하는 방법

게시글 주소: https://spica.orbi.kr/00061847052

이유는 제가 만들었기 때문이죠

이미 알고 계신 분들이 있을수도 있는데, 제목이 너무 무례하게는 안 보였으면 좋겠습니다.



등차수열과 관련해서 알아야 할 것이 세 개가 있습니다.

 1. an 자체의 성질

 2. an 과 Sn 의 관계

 3. Sn 자체의 성질


1,2,3 번은 각각 칼럼으로 작성될 것이며, 이번 칼럼은 그 중 

2. an 과 Sn 의 관계를 다룹니다.



수식적으로, 기하적으로 각각 접근해보겠습니다.


(1) 수식적 접근


an 과 Sn 의 관계를 다룰 때 기초가 되는 것은 둘을 변환하는 일입니다. an 이 주어졌을 때 Sn 으로 '쉽게' 변환할 수 있어야 하고, 그 역도 마찬가지입니다. 이때 '약간 미분', '약간 적분'을 사용하시는 분들도 있는데, 더 효율적인 방법을 여기서 소개해드릴까 합니다. 예시를 통해 방법을 알려드리겠습니다.


Question. an = 6n+4 일 때 Sn 을 구하라.


step1 적분 (적분상수 0)

 6n+4  >  3n2+4n


step2 최고차항 계수를 뒤에 n의 계수에 더함

 3n2+4n  >  3n2+(4+3)n = 3n2+7n


이렇게 구한 3n2+7n이 Sn입니다.


 

Sn 에서 an 으로 갈 때에는 그 역과정을 실행해주면 됩니다.


Question. Sn = 7n2 + 3n일 때 an 을 구하라.

 

 step1 최고차항 계수를 뒤에 n의 계수에서 뺌


 7n2 + 3n >  7n2 + (3-7)n =  7n2 - 4n


 step2 미분


 7n2 - 4n > 14n - 4


앞서 했던 것의 정확히 역과정이죠. 이렇게 구한 14n - 4가  an입니다.


모든 Sn 과 an 에 대해 방금 알려드린 내용이 성립합니다. 최고차항 계수가 양수든 음수든 an 이 0을 어디서 갖든 뭐 모든 요소와 관계없이 등차수열이기만 하다면 말이죠.



이 과정을 수식적으로 표현하면


              이하 편의상 무민공식 ㅎㅅㅎ



이 됩니다. 근데 이렇게 외우진 마시고 앞서 알려드린 '과정'으로 이 방법을 외우시는게 훨씬 나을겁니다. 


참고로 증명은 간단합니다. an = dn+a (d는 공차, a는 상수) 잡고 저 공식에 넣어보시면 성립한다는 걸 알 수 있습니다. 단순 계산이므로 여기선 생략하겠습니다.


여기까지 읽으셨다면 둘 사이의 관계를 변환하는 건 편하게 하실 겁니다. 이 무민공식(?)에서 한 가지만 더 건지고 가겠습니다.

an 을 적분한 이차함수의 꼭짓점은 an 이 0을 지나는 점과 같습니다. 그런데 적분함수에 nd/2만큼을 더해주었으므로, Sn의 꼭짓점은 적분함수의 꼭짓점, 즉 an 이 0을 지나는 점과는 x좌표가 다릅니다. 재밌는 점은 이 모든게 n과 d로 표현되기에 계산을 통해 정확히 얼마만큼 차이나는지를 구할 수 있다는 것입니다. 역시 단순 계산이므로 결과만 알려드리자면

 

   an 이 0을 지나는 점 - 1/2=Sn의 꼭짓점 x좌표


입니다.  알 사람은 안다는 꽤나 유명한 관계인데요, 은근히 유용하므로 알아두시면 좋을 것 같습니다.

참고로 증명과정이 의미가 있으면 제가 증명을 해드리고 넘어갈텐데, 이번처럼 그닥 의미가 없으면 앞으로도 생략할 예정입니다.


이제 기하적인 접근으로 넘어가겠습니다. 


다만 기하적인 게 재미는 있지만 수능 공부에 막 도움이 되는건 아니라서, 수험생분들은 그냥 넘어가셔도 좋습니다.

그리고 제가 좀 옛날에 쓴거라 가독성 안 좋게 썼어요.. ㅋㅋ


(2) 기하적 접근


Sn 과 an 을 한 평면에 나타내어 보겠습니다.


원래 Sn 과 an 은 n이 자연수일 때 정의되는데요, 여기서는 n의 범위를 실수 전체로 늘리겠습니다. 

또, an 의 공차가 양수이고 x절편이 1/2이 아닌 경우를 다루겠습니다. (1/2인 경우를 제외한 이유는 곧 나옴.) 

공차가 음수인 경우는 그냥 위 그림을 뒤집으면 되기 때문에, 음수인 경우도 포함하고 있다고 봐도 무방합니다. (대신 공차가 0인 경우는 안 됩니다. 그땐 Sn 도 이차함수가 아니라 일차함수가 되겠죠.)


 Sn은 반드시 x축과 두 번 만나는데요, 두 교점은 그림처럼 A, C라 하겠습니다.

"이차함수니까 x축과 안 만날수도 있는거 아닌가?" 라고 생각하실 수도 있는데, 결론부터 얘기하자면 아닙니다.

Sn이 그냥 이차함수가 아니라 an 과 연관된 함수이기 때문인데요, 위에 무민공식을 보시면 

S0 = 0이 늘 성립합니다. 그래서 최소 한 번은 x축과 만나게 됩니다. 

"그럼 Sn이 0에서 중근을 가지는 바람에 한 번만 x축과 만날수도 있는거 아닌가?" 라는 합당한 의심이 들 수 있는데요, 그 경우에는 an 의 x절편이 1/2이 됩니다. 중근인 이 경우를 제외하고자 일부러 이 케이스를 뺐는데요, 이에 대해서는 뒤에서 자세히 다루겠습니다. 


 한편, Sn 과 an 은 반드시 2개의 교점을 가집니다. 증명을 위해 둘을 연립해보겠습니다.

Sn - an = Sn-1 이고, Sn-1은 Sn을 오른쪽으로 1만큼 평행이동한 함수입니다. Sn이 x축과 두 번 만나기 때문에 Sn-1도 x축과 두 번 만나고, 그 뜻은 Sn 과 an 이 반드시 두 번 만난다는 뜻입니다.

Sn 과 an 의 교점을 그림처럼 B, D라 하겠습니다.



B에서 Sn 과 an 의 함숫값이 같다는 것인데요, B의 x 좌표를 k라 해봅시다.

Sk = ak, Sk - ak = Sk-1 =0 

A의 x좌표가 k-1임을 의미합니다. (위에 있는 그림을 참고하세요) 즉 점 A와 점 B는 x좌표 1만큼 차이납니다.

같은 원리로 C와 D의 x좌표가 1만큼 차이납니다. (엄밀히 하려면 B 증명할 때와는 달리 d의 경우에는 한 단계 더 거쳐야 하긴 하는데 뭐 그냥 받아들이셔도 됩니다 어차피 맞는 말이에요)


 이때 앞서말했듯 S0 = 0이 늘 성립하는데요, 점 A와 C 중 하나가 원점임을 의미합니다. 이는 점 B와 D 중 하나가 x좌표가 1임을 의미하기도 합니다. (S1 = a1, 당연하죠!)

 

 위에서 강조한 

 an 이 0을 지나는 점-1/2=Sn의 꼭짓점 x좌표

도 여기에 표현할 수 있는데요, A와 C의 중점과 an이 0을 지나는 점이 x좌표가 1/2만큼 차이날 겁니다.  an 이 0을 지나는 점이 더 오른쪽에 있겠죠.

시각적으로 이 관계를 기억하고 계시는 게 좋을 것 같습니다. 


더 깊게 간다면 얼마든지 깊게 갈 수 있는데, 수능에 도움될 만한건 여기까지 인 것 같습니다. 수요가 있다면 다음에 더 깊게도 써볼게요. 

(+수정) 더 깊게 쓴 칼럼도 나왔어요!

https://orbi.kr/00061860931


Sn 과 an 의 관계 자체가 문제의 주제가 되지는 않습니다. 

위에서 말씀드린

 1. an 자체의 성질

 2. an 과 Sn 의 관계

 3. Sn 자체의 성질

 중 1번과 3번이 문제의 주제가 되며, 2번은 중간과정 역할 정도입니다. 예를 들어 

Sn 자체의 성질을 묻는 문제에서 중간 과정에 an 과 Sn 의 관계를 사용해야 하는거죠.

 S1 = a1 임을 사용하던가,  an 과 Sn 식을 변환해주어야 하는 식으로 2번 개념이 사용될 거에요.



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