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책참 [1020565] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2023-04-04 12:41:05
조회수 8,510

0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)

게시글 주소: https://spica.orbi.kr/00062600708

제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!




이거 극한 어떻게 구할까요? 


지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.




대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!




이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.




자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.



이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.


1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능

2. f(a)=g(a)=0

3. g'(a)가 0이 아님


그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고




분모 분자를 x-a로 나눠주고

이제 lim를 분배함으로써




주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.




즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.


1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능

2. f(a)=g(a)=0

3. g'(a)가 0이 아님





이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.



방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.


1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능

2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님

4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴


증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.



[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다


https://orbi.kr/00062150488

https://orbi.kr/00062150488

https://orbi.kr/00062150488



증명 잘 보고 오셨나요?



로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.


1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능

2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님

4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)





처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.


먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면



이렇게 될 것입니다.



마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면




이렇게 될 것입니다.



우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다! 




p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...






























있어보이니까


.

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