우주론 강의 2. 우주의 밀도와 우주 모형
저번 글...
1. 프리드만 방정식
프리드만 방정식은 우주가 등방성과 균질성을 만족할 때 유도되는, 우주를 지배하는 방정식이라고 할 수 있다.
G는 만유인력 상수, rho는 밀도, P는 압력, c는 광속, H는 허블 상수, a는 척도인자이며 무차원이다. 또, k는 우주의 곡률을 나타내는 수이며 k=0이면 평탄한 우주, k > 0이면 닫힌 우주, k < 1이면, 열린 우주이다. 이때, k의 단위는 /m^2 이다.
혹은 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원으로 두고, a를 m단위로 쓸 수도 있다. 이런 경우에는 k는 –1, 0, +1 중 하나의 값을 가지며, 무차원의 수가 된다.
2개의 식을 프리드만 방정식이라고 한다. 우리는 이 중 첫 번째 식을 활용하여 몇 가지 우주 모형을 살펴볼 것이다. 당연하지만, 프리드만 방정식은 모두 등방성과 균질성을 가정하므로, 이로부터 유도되는 우주 모형들은 모두 허블 법칙이 성립한다.
2. 등속 팽창 우주
첫 번째 식에 a^2을 곱하면 다음을 얻는다.
이 문단에서는 편의상 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원의 수로, a를 m단위로 생각하겠다. 이러면 k는 –1, 0, 1 중 하나의 값을 가져야 하니, 우변의 두 번째 항은 상수가 된다. 이제 등속 팽창하는 우주이므로 da/dt 는 상수이다. 좌변이 상수이기 위해서는 rho = 0이어야 할 것이다. 왜냐하면, 우주의 밀도가 0이 아닐 경우, 우변의 첫 번째 항은 우주의 크기에 따라 값이 바뀔 것이며, 우변이 상수가 되지 않는다. 따라서 이 우주는 우주에 아무것도 없는, 텅 빈 우주이다. 또한, 좌변은 양수이므로, 우변도 양수여야 하니 k = -1, 즉, 이 우주는 열린 우주임을 알 수 있다.
정리하면, 등속 팽창 우주는 텅 빈 우주이고, 우주의 기하학적 모양은 곡률이 음수인 열린 우주이다.
3. k = 0이며, 우주의 밀도 = 우주의 물질 밀도인 우주
이 문단부터는 저번 글에서와 같이 척도인자를 현재 값이 1인 상대적 크기로, r을 m(미터)단위로 쓰겠다.
k = 0 일 때의 밀도를 임계밀도라고 하고, rho_c 로 쓰자. 그러면 프리드만 방정식을 정리하여 다음을 얻는다.
현재는 첨자로 0을 붙여서 표기하자. 현재 우주의 임계밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
rho_c,0은 현재 우주의 임계밀도, H_0는 현재 허블 상수이다.
이제 밀도 변수를 다음으로 정의하자.
우리가 다룰 우주 모형은 k = 0이므로 Omega = 1인 우주이다.
이제부터 첨자 m을 붙인 것은 물질을 의미한다.
이제 이런 상황에 대해서 알아볼 것이다.
k = 0 이므로 프리드만 방정식은 다음으로 쓸 수 있다.
현재에 대해서는 위 식을
로 쓸 수 있다.
우주의 총 물질은 일정할 것이므로 물질 밀도는 척도인자의 세제곱에 반비례한다. 그러므로 물질 밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
현재의 척도인자 a_0 = 1을 대입하였다. 이것으로 치환하면
이 된다. 이제 a로 정리하면
을 얻는다. 우주의 크기는 시간의 2/3 제곱에 비례한다. 또, 빅뱅 이후 현재 우주의 크기(a=1)에 도달할 때까지 걸리는 시간은
를 얻는다. 이것이 이 우주 모형에서의 우주의 나이가 된다.
4. 암흑 에너지(우주 상수)를 가정하며, k = 0 인 우주
이 경우는 풀이 과정이 길기 때문에 결과만 기술하겠다.
이 우주 모형의 경우 척도인자를 시간에 대해 미분하여 da/dt를 구해보면 그 값이 감소하다가 어느 순간부터 다시 증가하는 것을 볼 수 있다. 그래서 이 우주 모형을 가속 팽창하는 우주 모형이라고 한다. 또, 이 우주 모형의 경우 허블 상수는 항상 감소한다.
이 외의 우주 모형은 생략함.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
곧 12시에요!! 10
탈릅까지 D-39.
-
이해원 실모 s2 12컷 어느정도 될까요
-
뽕짝 느낌있는 노래 추천좀 ㅎㅎㅎ 어쩌면 저세상 막춤/트월킹 할수도 있네요^^; ㅋㅋㅋ
-
목표까지 약 7% 남았네요
-
몇명 못봤음 진짜
-
가볍게 던지는 말이 아니라 진짜 제가 올해 울면서도 고민한 부분입니다 이게...
-
누군가를 하염없이 기다리는중..8
-
순공시간3,4시간이 팩트임? 재수생기준
-
요새 수학하면 우울증 올거같음 ㅜㅜ 이게 맞나 싶음
-
공부하는 사람 얼마 없는듯요...오늘 제 옆자리도 하루종일 휴게실에서...
-
그게 무슨 카페냐
-
. 1
-
마싰는 문제가 없어 그냥 항상 먹던 맛?
-
왜 다 10 10 10으로 균등한거야
-
추합 3명 13
-
생윤 수특 수완 1
강의 내용에 안 나온 처음 보는 내용들도 다 외우시나요? 이지영 선생님 출눈 강의...
-
안정적인 1등급이 잘 안떠서 고민인데 어떤 강사가 좋을까요?? 고2정시파이터 입니다ㅠ
-
추합을 해드리면 2
어려우이
-
시즌1만 풀었는데 괜찮긴했는데 시즌2도 온라인에 풀리는것만이라도풀어볼까
-
와 미친 방금 배신당함 17
맨날 ㄹㅈㄷㄱㅁ 댓글 달던 오르비언 한명 프로필 들어가봤는데 ㅅㅂ 전형적인 고능아의...
-
현실적으로 고2 말부터 제대로 공부시작한 예비고3이 학교다니면서 정시공부해서...
-
큰 힘에는 큰 책임이 따른다는데 큰 힘이 없는데 큰 책임만 따라와요 ㅠㅠ
-
젠지를 압도하네 슈퍼 플레이가 있기는했지만 ㅈㄴ 잘하노
-
ㄹㅇ 우울증 올거 같음
-
몇% 정도 되나요? (1년동안 드라마틱한 성적 변화가 있는 경우)
-
82나 92는 좀 에바고 연습하기좋은난이도
-
그런 의미에서 제 글 스크랩 좀
-
이거나 보셈 4
-
순서대로 확통 미적 기벡 수2
-
의대에못가면불법의료행위를하고싶을정도로
-
jit n제, jit 실모 중에 풀어본거 후기좀 한지, 세지 상관없음
-
어글하다..어그하다... 어글... 미안하다 어그로다 지금 지구과학1 서술형...
-
모든과목들이 높은 3등급에 걸쳐있는데 수능은 한달남음 어케 해야함 시발 오늘도...
-
누에삐오 4
나나나나나나나나나나나나나나는는ㄴㄴ 누에삐오
-
현제 일반고 내신 합산 1.6, 모고 백분위 국수 합산 꾸준히 99 안으로 들어가요...
-
수능 끝나면 3
탄산음료 책상에 올려놓고 토탈워,배틀필드,크루세이더 킹즈(대충 컴퓨터게임) 느긋하게...
-
도둑입니다~ 13
반가워요
-
와 딜라이트 2
와 그냥ㅋㅋ
-
민초 호감도 조사 25
오르비에 민초단은 과연 몇 명인가
-
아가 자야징 14
ㅂㅂ
-
선넘질받 12
저도 해보고 싶어요
-
저 밑줄친 a는 어떻게 거를수 있나요..?
-
할 거 같아요 이감이 시즌3 4처럼 괴랄한 걸 내고 난이도 조절을 못한다고 해도...
-
정처없이 그저 방황하고 있는데 마음에 안정이 찾아와 주는군요
-
여태까지 생윤을 제대로 한적이없는 개씹노베 현역입니다.. 림잇은 전에 다 들었고...
-
불면핑 5
잠이 안 온다
-
오늘은 분노의 물2로 불태웠다...
-
무슨무슨 기간만큼 하면 그 양대로 정량적으로 성적이 오를거 같았는데 근데 현실은...
-
인기글 보고 1개 풀어 봤는데 일단 존나 안어려워서 좋네 6모랑 비슷한거 같은데...
선생님 너무 어렵습니다;;