[서울대 수교과] (불연속)x(연속), 연속함수=0이어도 불연속이라고?
-이전 칼럼 모음
[서울대 수교과] 해설지 없이는 못 푸는 그대에게, 수I 삼각형 https://orbi.kr/00062038781
[서울대 수교과] 해설지 없이는 못 푸는 그대에게, 수II 함수의 극한(1편) https://orbi.kr/00062106944
[서울대 수교과] 해설지 없이는 못 푸는 그대에게, 수II 함수의 극한(2편)https://orbi.kr/00062139886
[서울대 수교과] 함수의 연속, 정의역이 핵심이다. https://orbi.kr/00065494895
안녕하세요! 저는 전교꼴찌 하다가 서울대 두 번 들어온 신동성 이라고 합니다. 오늘도 수학칼럼으로 돌아왔습니다!
오늘은 함수의 연속 2편입니다.
불연속함수와 연속함수의 곱함수의 연속성, 즉 간단히 말해서
(불연속)x(연속)의 연속성은 함수의 연속 단원에서 매우 자주 나오는 주제입니다.
그럴만 한 게,
두 연속함수는 더해도, 빼도, 곱해도, 나눠도(분모가 0이 아니라면) 무조건 연속이고,
두 불연속함수는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 모두 직접 해봐야 하며,
불연속함수와 연속함수는 더해도, 빼도 무조건 불연속입니다.
그렇지만 (불연속)x(연속)은 연속이 되기 위한 아주 특별한 조건이 있어서, 그 조건만 체크하면 되죠?
많이들 알고 계시듯 그 조건은 바로, "불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값 = 0" 입니다.
그렇지만 이 조건은 사실 필요조건이기는 하지만 충분조건은 아니에요.
즉, (불연속)x(연속)에서 연속함수가 0임에도 불구하고, 곱함수 전체가 불연속일 수 있다는 거죠.
1. (불연속) x (연속) = (연속), "불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값 = 0"
우선은 혹시라도 저처럼 공부를 늦게 시작하신 분들을 위해, 이 내용부터 짚으며 시작해봅시다!
우선 (불연속) x (연속)의 간단한 예시를 살펴볼까요?
이렇게, 불연속함수 f(x)에 어떤 함수를 곱하냐에 따라, (불연속) x (연속)이 연속이 되기도 하고, 불연속이 되기도 하죠?
그런데,f(x)가 불연속인 x=1에 대해
곱함수가 연속인 위에서는 g(1) = 0이고
곱함수가 불연속인 아래서는 h(1) =/=0 임을 확인할 수 있어요.
눈치빠른 분들은 이미 아셨겠지만, (불연속) x (연속)이 연속이 되기 위해서는
불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값이 0이어야 해요.
가령, 불연속함수의 서로 다른 좌극한과 우극한에
연속함수의 같은 값을 곱해서
곱셈 결과가 같아지려면
곱하는 값이 무조건 0이어야 하지 않을까요?
수식으로 표현하자면,
이처럼, x=(알파)에서 불연속인 함수에 연속함수 g(x)를 곱해서 연속이 되려면,
연속함수의 함수값이 0이 되어야 함을 알 수 있어요.
그래서, 가령
이런 문제를 만나면
f(x)는 x=1에서만 불연속, 나머지에서는 무조건 연속
g(x)는 모든 실수 x에서 연속이므로
f(x)g(x)가 x=1에서만 연속이 되면 되고,
이때 (불연속)x(연속)이므로
g(1)=0
=1+k
-> k=-1
이렇게 결론을 낼 수 있어요.
수능이나 내신에 아주 자주 나오는 성질이니, 잘 기억해두세요!
2. (불연속) x (연속), 연속함수 = 0 이어도 불연속이라고?
이제 오늘의 메인 주제입니다!
위에서 말씀드린 내용까지는 모두들 알고 계실 거에요.
그렇지만, (불연속)x(연속)에서
불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값=0임에도 곱함수가 불연속일 수도 있어요.
그게 어떻게 가능하냐고요?
바로 이렇게요.
어떻게 된 일일까요?
분모가 0으로 수렴해서 전체가 무한대로 발산하는 불연속함수에서는
연속함수 = 0 임에도 불구하고
곱함수의 극한값이 존재하지 않을 수 있기 때문이에요.
바로 위의 예시가 딱 이 경우죠.
분모가 0으로 수렴해서 전체가 무한대로 발산하는 불연속함수 f(x)에 대해,
불연속함수 f(x)의 불연속점 x = 1에서 연속함수 g(x)가 g(1) = 0임에도 불구하고
곱함수의 분모에 여전히 (x-1)이 남아있어서, 곱함수가 무한대로 발산해버리는 것이죠.
그렇다면, 곱함수가 발산하지만 않으면 연속이 될까요?
이 예시에서는, 연속함수 g(x)에 (x-1)을 하나 더 곱해줬어요.
그러면 곱함수 f(x)g(x)가 x=1에서 1로 수렴하네요.
그러나, 극한값과 함수값이 달라서 여전히 불연속이 되었습니다.
(x-1)을 한 번 더 곱해보면 어떨까요?
드디어 연속이 되었네요.
눈치채신 분들도 있겠지만, 극한값 = 0이 되어야만 연속이 돼요.
왜 그럴까요?
이렇게 결론낼 수 있겠어요.
따라서, (불연속) x (연속) = (연속) 이려면,
단순히 "불연속함수의 불연속점에서 연속함수 = 0" 뿐 아니라
"곱함수의 극한값 = 0" 이 되어야 하고,
그러기 위해서는
"0을 만드는 인수를 곱함수의 분자가 분모보다 더 가져야" 하겠죠?
마지막으로, 이 개념을 활용해서 아주 빨리 풀 수 있는 문제를 살펴보고 마치겠습니다.
2021학년도 고3 7월 모의고사 12번입니다!
쉽죠?
이상입니다!
그리고 오르비학원에서 강의 진행합니다!
도형 관련 무료특강
수학II 미분 관련 무료특강
수학II4주짜리 개념+기출 특강
https://academy.orbi.kr/gangnam/teacher/464
많이 관심가져주시면 감사드리겠습니다 헤헤,,
공부에 도움이 되었다면, 추천팔로우댓글 많관부!!!!!
다음 칼럼 주제 추천이나 관련 질문 쪽지, 댓글도 아주 환영합니다!!!
수학 외적인 것도, 공부 외적인것도 ㄱㅊ습니당
이상입니다!ㅂㅂㅂ~~
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
여르비 주목‼️ 1
쪽지좀.
-
재수학원에 1
돌핀팬츠, 크롭티 입고가면 어캐되나요?
-
Oops!
-
저게 물리적으로 가능함?
-
갸루스타일 8
별로에요? 약간 세미갸루도 별로인가 와투케+갸루화장
-
자리예약 깜빡해가지고 그 선좌석? 인가 다 빠져서 자동배정인거같은데 이거 ㅈ된거임?...
-
여드름나서 아픈 오르비언 인증이죠?
-
현역이고 수시카드 가천대 논술 빼고 5개는 안정으로 넣어뒀습니다 가천대 논술은...
-
+ 정시 기준 등급대별로 대충 몇 년정도인지 궁금해요 ˳⚆ɞ⚆˳
-
오르비개재밋ㄴ 9
난 왜 이런 재미를 몰랏을꼬 물론 작년엔 감금당했긴했으
-
인스타 허세짤 1
여기에 +보험설계사 하면 ㄹㅇ
-
기출 돌리는 거 괜찮나여 아님 반복하는 게 더 나을까요 ?
-
ㅇㅈ.......ㅁ 11
이재명
-
편입이 더 쉬울 것 같다
-
뭔가뭔가임 진짜
-
절대로 인증을 해선 안되
-
휴일 밤을 맞아 6
일본어 공부하기 vs 스위치 갖고 놀기
-
그냥 뭔가 그럼. 아님 말구.
-
만코만 주세요 3
감사합니다.
-
ㅇㅈ메타임? 1
ㅈㄱㄴ
-
1% 확률로 길냥이가 출몰했습니다! ㄱㅇㅇ
-
06 고3 나이면 수능 끝나자마자 하는 게 낫나요? (성인되기 전에) 아니먼...
-
어어 왜 서냐 4
왜 슬슬 자야겠다는 판단이 서냐?
-
ㅠㅠ
-
ㅇㅈ 12
초성게임 인증
-
나노메카 작년엔 17:1이었는데 올해는 8:1로 확 줄었네요 의대 증원때문에 이렇게 된걸까요?
-
아니 배성민 6
카운터어택 모의고사 가격보소 ㅋㅋㅋ 4점 주요 7문항 7회 12000원? 캬...
-
오르비가 얼었다 3
킹째서
-
자야지 1
슬슬
-
나도 걔한테 생일때 손편지 써줬는데 걔도 나한테 손편지 써줌 너무 감동적이고 좋은...
-
2 3p에서도 한 두개씩 틀리고... 이걸 우짜냐ㅜ
-
ㅇㅈ 11
...
-
수시 원서접수 할때 갤러리에서 pc 카톡으로 옮겨서 컴퓨터로 원서 사진 첨부를...
-
인증메타임? 3
?
-
강x오늘처음배송옴 시즌12,식센모빅뱅모시즌2부터밀림,김승모9평대비부터안품,...
-
계약학과 0
학점 높은사람이랑 낮은사람 차이 아예 없는거죠
-
ㅇㅈ 7
.
-
“드라마 잘못 만들었다가” 결국 ‘날벼락’…의사된 고윤정 못 본다 1
[헤럴드경제= 박영훈 기자] “결국 방영 무산” 전공의 집단사직으로 촉발된 의료...
-
ㅇㅈ 8
안녕 멍멍이
-
8시에 누웠는데 이게맞나 과탐하러갑니다
-
아가 취침 1
-
생2 어떰? 2
현재 고2 정파인데 생1 많이 빠졌대서 고인물 파티라는 말에..생2를 좀 찾아봤는데...
-
윤성훈T 20번 0
qna 답변에서 감소량도 구해야 하지만 주어진 조건으로 알 수 있는 ‘당연한...
-
보통 정신이 아니긴 했음
-
급한데 하
-
과목은 수1, 미적 어떤게좋을까요
-
11월 -> 가장 성수기라 심하면 2달 대기해야됨 ㅇㅂㅈ 같은 데는 아예 성수기...
-
그게 나야 바 둠바 두비두밥~ ^^
-
아는형이 8수생인데 이정도 나이는 사회나가면 아무것도 아니라는데 맞죠?
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.