[칼럼] 고등수학의 연산에서 가장 중요한 한 가지!!

안녕하세요. Math Changer 어수강 박사(과천 "어수강 수학" 원장)입니다. 

오늘은 고등학교 수학의 "연산에서 가장 중요한 한 가지"에 대해 포스팅 해볼게요! 

 고등학교 수학의 연산에서 가장 중요한 것은 무엇일까요? 한 번 생각해 보세요!

이를 알고 여기에 초점을 맞추고 공부한다면 고등학교 수학이 한결 쉬워질 거에요. 안정적인 1등급을 받는 데에도 큰 도움이 될 거에요 :)

  다음은 각각 초등학교와 중학교 과정의 연산 문제입니다. 

 초등학교와 중학교에서는 "연산을 숙달하는 것"이 학습 목표이기 때문에 위와 같이 복잡한 계산을 요구하는 문제가 직접 출제됩니다. 

 하지만 고등학교 수학에서는 위와 같이 "세 자리 자연수의 곱셈"이나 "유리수 9개를 사칙연산 규칙에 따라 일일이 계산"하는 문제는 출제되지 않습니다.

  그럼 고등학교 수학에서는 어떤 문제가 출제 될까요? 

 고등수학에서는 위와 같이 표면적으로는 매우 복잡해 보이지만, 배운 것을 통해 '간단히' 할 수 있는 문제들이 출제 됩니다. 이때, 

"복잡한 것을 간단히 하는 도구"

에 초점을 맞추고,   "어떤 도구를 사용하는지, 복잡한 식이 어떻게? 왜? 간단해 지는지" 공부해야 합니다.

(물론 [문제2]는 대충 풀어도 쉽게 풀 수 있는 문제입니다. 하지만 쉽고 익숙한 문제에서부터 연습하지 않으면, 생소하고 어려운 문제를 제대로 풀지 못할 것입니다! 쉬운 문제에서부터 제대로 연습해야 합니다!) 

 [문제2]의 (1)에서는 다음 정리를 사용합니다.  

 위 정리의 (1)은 차수를 낮추는 도구이고, (2)는 항의 수를 줄이는 도구입니다. 이를 이용하면 허수단위 i에 대한 복잡한 연산도 쉽게 할 수 있습니다. 이를 이해하고 올바르게 적용하는 것이 중요한 학습 목표이기 때문에 시험에도 자주 출제되는 거겠죠?

 [문제2]의 (2)에서는 다음 정리를 사용합니다.

 위 정리의 (1)은 차수를 낮추는 도구겠죠? (2)도 마찬가지입니다. (2)를 이용하면 이차식을 일차식으로 바꿈으로써 차수를 낮출 수 있게 됩니다. (3)은 항의 수를 줄이는 도구겠죠? :)

 이를 이용하면 w에 대한 복잡한 연산도 간단히 할 수 있겠죠? 이것 또한 중요한 학습 목표이기 때문에 시험에 자주 출제가 되는 것입니다!

 그렇다면 [문제2]의 (3)은 어떨까요? 주어진 x를 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 (i, w와 같은 이유로) 왼쪽의 식은 항의 수를 줄이는데, 오른쪽 식은 차수를 낮추는데 유용하겠죠? 이를 이용하면 [문제2]의 (3)도 쉽게 풀 수 있습니다!

 물론 [문제2]는 쉽게 유형화 가능합니다. 중상위권 이상이라면 이 정도는 시간이 지나도 쉽게 맞힐 수 있습니다. 하지만 다음 문제는 어떨까요?

 [문제3]은 "2021학년도 수능 수학 가형(이과)의 객관식 마지막 문항"입니다. (물론 킬러 문제 치곤 쉽게 출제된 문항입니다!)

 하지만 이 문제도 [문제2]에서 연산을 간단히 하는 도구에 초점을 맞추고 공부한 학생이라면 매우 쉽게 풀 수 있습니다.

   [문제3]의 (가)로부터 2n을 n, 2로!

   [문제3]의 (나)로부터 2n+1을 n, 2로! 

임을 이용하면, 주어진 항을 모두 첫째항과 둘째항으로 나타낼 수 있기 때문입니다! (8, 15를 1, 2로 나타내면 끝!) 

[문제2]의 차수가 [문제3]에서 항 번호로 바뀐 것 뿐입니다! 문제에 주어진 모든 항을 첫째항과 둘째항을 이용해 나타내기만 하면 [문제3]도 쉽게 풀 수 있습니다 :) 

 다항식에서 인수정리가 중요한 것도, 함수의 합성에서 항등함수와 역함수가 중요한 것도, 미분과 적분의 역연산 관계가 중요한 것도 모두 복잡한 연산을 간단히 하는 도구이기 때문입니다! 

 복잡한 것을 있는 그대로 복잡하게 계산하는 것은 고등학교 수학의 학습 목표가 아닙니다. 복잡한 연산을 어떻게 간단히 할 수 있는지에 초점을 맞추고, 무엇을? 어떻게? 왜? 간단히 할 수 있는지 신경 써서 공부할 것을 강력하게 권장합니다!  이것이 중요한 학습 목표이자 수학의 본질이기 때문입니다. 이를 통해, 본질이 무엇인지 깨닫게 되면~ [문제3] 또는 이보다 생소한 고난도 문제를 시험에서 처음 마주하더라도 쉽게 풀 수 있을 것입니다! (기계적으로 답을 맞히는 공부를 한다면 시험에서 생소한 형태의 고난도 문제에서 크게 당황할 가능성이 높습니다. 안정적인 1등급도 어렵겠죠?)

 그럼 오늘 포스팅은 여기서 마치도록 할게요. 다음에 또 만나요! :)

PS. 연산에 대한 보다 자세한 설명과 구체적이고 다양한 예시가 궁금하시면 다음의 전자책을 읽어보세요! 

"서울대 박사가 알려주는 수학의 비밀 - 세 번째 비밀 : 연산"

[오늘의 칼럼 요약]

: 고등학교 수학의 연산에서의 학습 목표는 "복잡한 연산을 간단히 하는 것"입니다. 복잡한 연산을 간단히 하는 도구에 초점을 맞추고, 그것이 무엇을? 어떻게? 왜? 간단히 하는지 공부할 것을 강력하게 권장합니다!