깡수학으로 푼 10모 수a 29번 문제

조건 1 해석 : 세개의 접선을 가진다.

f(x)= x³+3x² = x²(x+3)

f'(x)= 3x²+6x = 3x(x+2)

이를 통해 f(x)의 그래프가 (0,0)과 (-3,0)을 지나며 x=-2와의 교점에서 4를 극댓값으로 갖는 그래프라는 것을 알 수 있다. (극소점=0,0)

접선을 구해야 하는 자리는 (a,-4)로 이미 y좌표가 고정되어 있다.

접선 공식 > y=(3t²+6t)x-2t³-3t²

지나는 점 > (-4,a)

대입하면, -2t³-15t²-24t=y 이고, 이때 y=a와의 교점의 수가 존재하는 기울기의 수. 즉, 존재하는 접선의 수가 된다.

g(x)=2t³+15t²+24t = -a

세 접선이 존재하는 지점이어야 하므로, 교점은 3개 이상이어야 한다. (조건 1 해석)

g'(x) = 6t²+30t+24 = 6(t+4)(t+1)

따라서 3차항의 계수가 양수이므로 x=-4에서 극댓값, x=-1에서 극솟값을 갖는다.

그리고, 3차함수의 그래프와 y=-a의 교점이 3개이려면 극댓값>-a>극솟값 꼴을 취해야만 한다.

g(-4)=16 (극댓값) , g(-1)=-11 (극솟값)

따라서 16>-a>-11

조건 1의 최종결론 : -16<a<11

조건 2 해석 : 세 접선의 기울기의 곱이 음의 부호를 가진다.

접선의 기울기 : f'(x)=3x²+6x=3x(x+2)

이므로, f'(x)의 그래프 개형을 추론할 수 있다.

이 때, g(x)=-a와 일치하는 점에서의 x값을 f'(x)에 대입한 것이 접선의 기울기가 된다. 또한 근의 공식을 통해 g(-2)<0임을 알 수 있다.

g(x)=-a의 세 교점의 x좌표값을 작은 수부터 각각 x₁, x₂, x₃라고 하면, f'(x₁)f'(x₂)f'(x₃)<0 이어야 한다.

a의 최댓값은 조건 1에 의하면 11인데, a=11일 경우 f'(x₁)만 양수이고 나머지는 음수이므로 곱이 음이라는 조건2가 성립하지 않는다. 따라서 수를 줄일 경우, f'(x₁)는 항상 양수이며 f'(x₂)가 가장 먼저 음에서 양으로 부호가 바뀜을 확인할 수 있다.

f'(x₂)=0이 될 때의 a값을 구하면,

f'(-2)=0, g(-2)=-4

따라서 -a가 -4일 때, 즉 a=4일 때 f'(x₂)=0이다.

조건은 f'(x₂)>0이므로, -a>-4이다. (=a<3)

따라서, 두 조건을 a가 포함된 부등식으로 연립해보면

조건1) -16<a<11

조건2) a<4

a 최댓값은 3, a의 최댓값이 M이고 문제는 M²을 구하라 하였으므로,

답은 9