-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
신기함
-
ㄹㅇ 어째서.....
-
흠,,
-
6모 때의 나는 과거 지금의 내가 더 잘하기 떄문 9모 때는 지금이랑 등급이...
-
미152 기 151이어야 미적96 149 인원수, 기하96 148인원수가 들어맞음...
-
물지 생지하고 0
철학과 어문학과는 말이되고…? 라고 할 뻔했네요~
-
국어 살려줘어어 0
ㅜ여름방학동안 국어 모의고사 공부 바짝 하려고 하는데 어떻게 공부해야할까요?...
-
A가 현재 B가 1억년전의 고지자기극이란 것까지는 이해 가능요 근데 왜 X가 현재...
-
기하 어려운 편이었나보네
-
만표 72 캬ㅑ 이래도 사탐런을 안해—?
-
장기하 엌ㅋㅋ
-
맞나요???
-
사탐런하고싶어서 개호들갑을떠노
-
쌍윤 표점보면 2
담요단이 승리하나? ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
영어공부 진짜 안한 듣기도 절반정도 틀리는 쌩노베입니다 이제 진짜 해야겠어서...
-
난 왜 이렇게 떨리는걸까
-
사탐런 멈춰 0
다들 어디가
-
물론 수능 때가 진짜이긴 하겠지만
-
확정적인 1등급이 되고 싶어오. 어뜨케 해야하나오?
-
익숙하잖아?
-
어떻게 됐길래 그러는겨 ㅅㅂ
-
라는 생각을했지만 수학을 보고 바로 물러서기로했다.
-
다들 등급컷 얘기를 하시길래요.. 국어 너무 궁금해서 미쳐버리겠어요
-
ㅇㅇ. 6모 보다 훨씬 어렵게 나오는 경우가 많음.
-
1컷 47인게 납득은감
-
1컷 50 만점자 5.83%
-
걍 피지컬 늘리셔야겠지? 믿습니다
-
경찰 "고려제약 리베이트 의사 100여명 추가입건…늘어날 수도" 1
복지부 수사의뢰 6건 서울청 형사기동대 배당…"집중 수사" (서울=연합뉴스) 윤보람...
-
초반 메가예측이 맞았구나 생2지2보다 높기는 하네
-
잇올 9모 0
이거 잇올 된거임?
-
??
-
평누도 하아
-
친구들한테 빠따 들어서라도 stay시켜야겠네ㅋㅋㅋ
-
오지마!!!! 실수표본안돼ㅐㅐㅐㅐㅐㅐㅐㅐ
-
내가 이 말 듣고 때문에 작년 9모 2주전에 물2를 시작했다는..
-
물2살려내 0
물2살려내물2살려내물2살려내물2살려내물2살려내물2살려내물2살려내물2살려내물2살려내물2...
-
국어 1컷 2
언매 87은 1 확정일까요?
-
수능날 진짜 ㅈ대는 수가 있습니다 만점까지 긴장의 끈을 놓아선 안돼 6평 생윤 만표...
-
역시 화1을 하는게 맞다
-
6모 10
113111인 가능세계 있으려나요 ㅋㅋ
-
이정도 기세면 생1 지1 23수능급으로 어렵게 나와도 1컷 47찍히는거 아닌가 모르겠네 ㅋㅋㅋ
-
언제나 47 고정인과목이
-
9897으
-
이전 나형런 러쉬 시기 생각하면...
-
사문 50 6
만백 98이구나 예상은 했다 6평이라 48이지 수능이면 1컷 닥50일듯
-
궁금해용
-
다 1컷 50각이었는데 3.후반대에서 끊겨서 겨우 1컷 48 1컷 다 50이었으면 재밌었을듯
-
신분증 돈 사진 들고가면 될까요
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요