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M oㅇmin [1211935] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2024-06-09 14:37:38
조회수 14,869

근의 분리 상위호환

게시글 주소: https://spica.orbi.kr/00068358303


과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,

특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.


앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다

(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)







일단 이번 6모(2025학년도)입니다.  문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다. 




k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.




이렇게 말이죠. 


(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.


아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다. 


아무튼 미분해보겠습니다. 



냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.

함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.

난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ



여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.

그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다. 




일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.



왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠. 

이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.







그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.

반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다. 


x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠. 


그럼 접하는 순간 계산해볼게요.



a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠. 


a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요. 



2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.

저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다. 



얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.






연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요. 

반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.


왼쪽 함수에 대입해봅니다. 

b=2a-1이 나오겠네요. 


도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다.  아까 했던 거 똑같이 할게요.





a범위 구했습니다. 


왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는 

y절편이 양수고 

(-1,0)을 지나므로

아까 말한 연두 구간에 그려집니다. 


우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.




네 여기까지입니다.

부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.

문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.



한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다. 

그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?

a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.

즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는 

이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요. 



다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.  

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M oㅇmin [1211935]

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