End invariants for Kleinian surface groups and boundary of Teichmuller space
$$\mathcal{E}:\partial B_Y\to{\mathcal{PL}(S)\over |\cdot |}$$
이 map은 각각의 $\partial B_Y$에 속하는 manifold $M$의 end-invariant $\mathcal{E}([M])$을 associate하는 mapping이다. end-invariant $\mathcal{E}([M])$은 클래식한 방법으로는 the limit lamination of the sequence of simple closed curve exiting every compact subset of $M$ 으로 정의할 수 있는데, Thurston의 length function $\underline{\mathrm{length}}_M$을 이용하면, 다음과 같이 정의할 수 있음:
Definition (End-invariant). Let $M\in\partial B_Y$ be a point in a Bers boundary. Then its end-invariant $\mathcal{E}(M)$ is the union of all connected geodesic lamination $\lambda$ such that for some $\mu\in\mathcal{ML}_+(S)$ we have
$$\lambda = |\mu|\text{ and }\underline{\mathrm{length}}_M(\mu) = 0.$$
다시 말해서, $M$에 속해있는 모든 unrealizable geodesic lamination들의 union을 말하는 것. Thurston과 Bonahon에 의해서 $\mathcal{E}(M)$은 geodesic lamination이 됨.
$\mathcal{E}(M)$은 quasi-isometry class $[M]$ of $M$에 대해서 invariant하기 때문에, 위에 map $\mathcal{E}$는 사실 $\partial B_Y/\mathrm{qi}\to \mathcal{PL}(S)/|\cdot |$로 descend할 수 있음. 이 map 또한 $\mathcal{E}$로 적기로 함.
먼저 $\mathcal{E}$의 성질에 대해서 서술해보고, 이 map의 연속성의 한계점을 알아보도록 한다.
Theorem 1. Let $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$. The mapping $\mathcal{E}$ is strictly lower-semincontinuous in the quotient topologies on domain and range.
여기서 "strictly lower-semicontinuous" 하다는 의미는 다음과 같음:
For $[M_n]\to [M]$, any limit $\mathcal{E}_\infty$ of $\{\mathcal{E}([M_n])\}$ satisfies $\mathcal{E}_\infty\subset \mathcal{E}([M])$.
Theorem 2. The mapping $\mathcal{E}$ is a surjection onto $\mathcal{EL}(S)$.
여기서 $\mathcal{EL}(S)$는 소위 "ending lamination space" 라고 하는데, ending lamination들을 모아놓은 집합이기 때문. 보통 정의를 measurable lamination들 중에서 filling lamination들을 모아놓은 집합으로 정의할 수 있음. 여기서 포인트는 lamination 자체는 measure를 갖고 있지 않지만, measure를 줄 수 있기 때문에 measured lamination으로부터 나온 것 (쉽게 말해 measure를 forgetting한 measured lamination). 논문에서는 정의를 좀 relatively filling이라는 개념을 이용해서 정의했는데, 좀 더 세심하게 정의했다고 볼 수 있음.
모든 unmeasured lamination $v$는 두개의 부분으로 partition을 할 수 있음: $v = P\coprod E$ 여기서 $P$는 simple closed curve들 (P는 parabolic의 P), $E$는 infinite minimal component들 다시 말해서 각각의 leaf들이 infinite이고 각각의 component에 dense하게 있는 것 (E는 Ending lamination의 E). $v$ 자체는 $S$에서 filling이 아닐 수 있지만, relatively fills $S$라는 것은 모든 component $v'$ of $E$가 만나는 subsurface of $S-P$를 filling하는 경우로 $E$의 component가 그가 만나는 subsurface를 filling하는 경우를 말함.
$\mathcal{EL}(S)$는 quotient of quotient space $\mathcal{PL}(S)/|\cdot |$ 인데, 각각의 unmeasured lamination $v\in\mathcal{PL}(S)/|\cdot |$에 대해서 unmeasured lamination $\hat{v}$을 assigned 한 것을 말하는데, 여기서 $\hat{v}$는 $v$로 부터 minimal set of simple closed curve를 집어 넣어서 $v$가 $S$에서 relatively fill하게 만드는 것. 따라서 $\mathcal{EL}(S)$는 relatively filling하는 모든 unmeasured lamination들을 모아놓은 공간이라고 보면 됨.
Theorem 2로 부터 $\mathcal{E}$의 image를 정확히 파악할 수 있었지만, Theorem 1로 부터는 이 map의 continuity를 말해주지 않음. 그리고 사실 continuous하지 않음. 이건 기본적으로 "accidental parabolics" 가 limit manifold에서는 등장하기 때문:
E.g 1) $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$ 임을 이용해서, 서로 다른 isotopy class $\gamma$와 $\delta$ s.t. $i(\gamma,\delta) = 0$인 것을 찾음. 이제 $\mathcal{P}\subset S$를 maximal partition containing $\delta,\gamma$라고 하자. 그러면 $\mathcal{P}$로 Fenchel-Nielsen coordinate를 이용해서, $X_{n,m}\in\mathrm{Teich}(S)$ s.t.
$$\mathrm{length}_{\delta}(X_{m,n}) = {1\over m}\text{ and }\mathrm{length}_{\gamma}(X_{n,m}) = {1\over n}$$
으로 잡는다. 다시 말해서, $\delta$와 $\lambda$를 pinching하는 sequence를 잡는 것. 그러면 $\{Q(X_{n,m},Y)\}$는 $m\to\infty$일 때, 만들어지는 limit manifold들을 $\{M_n\}$이라고 하면 $\mathcal{E}(M_n) = \delta$가 되고, $n\to\infty$로 다음에 보내고 limit manifold를 $M$이라고 하면 $\mathcal{E}(M) = \delta\cup\gamma$가 됨. 근데, $\mathcal{E}(M_n) = \delta$ 인데 resulting manifold의 end-invariant는 $\gamma$도 포함되어 있기 때문에, 즉 $\gamma$가 accidental parabolic으로서 등장하기에, continuity가 깨짐.
E.g 2) 이 예시는 비슷하지만 추후에 나오는 end-invariant topology 정의의 정당화 같은 것인데, "growth rate"에 따라서 $\mathcal{PL}(S)$ 에서는 감지하지 못하지만 $AH(S)$ 에서는 감지가 되는 그런 현상이 있음을 보여줌. 따라서 기존의 $\mathcal{PL}(S)$에서의 topology 말고 좀 다른 더 세심한 topology가 필요함을 암시함. $C_0$를 $S$의 maximal partition이라고 하고, disjoint한 essential simple closed curve들 $\gamma,\delta$를 잡는데, $i(\alpha,\gamma)\neq 0\neq i(\alpha,\delta)$ for each $\alpha\in C_0$ 을 만족하도록 설정. $\tau_\gamma$와 $\tau_\delta$를 dehn twist 라고 하고 $C_n = \tau_\gamma^{n^2}\circ\tau_\delta^n(C_0)$ for each $n\in\Bbb Z_+$라고 하자. 그러면 maximal cusps $\{M(C_n)\}$의 limit manifold를 $M$라고 했을 때, $\gamma$와 $\delta$모두 parabolic으로 되지만, $\mathcal{ML}(S)$에서는 growth rate가 $\tau_\gamma$가 훨씬 크기 때문에, $[\gamma]$로 수렴하게 됨. 역시 이 경우도 $\mathcal{E}$의 discontinuity를 보여줌.
이러한 이유로, continuity를 원한다면, 기존의 topology와 다른, sequence의 모든 accumulating하는 lamination들을 모두 캡쳐하는 것이 합리적. 따라서 다음과 같은 정의를 함:
Definition (End-invariant topology). The end-invariant topology on $\mathcal{EL}(S)$ is the topology of convergence for which $v_n\to v$ if for any Hausdorff limit $\lambda_H$ of any subsequence $v_{n_j}$, the maximal measurable sublamination $\eta\subset\lambda_H$ is a sublamination of $v$.
다시 말해서 주어진 sequence $v_n$의 모든 Hausdorff convergence sense에서의 모든 accumulation point들을 모아놓은 것을 말함. 근데 한가지 조심해야할 것은, limit lamination $v$는 well-defined 되어 있지 않은 것이, accumulation point들을 제외한 부분에 대해서는 여러가지의 가능한 lamination들이 $v$에 존재할 수 있고, 따라서 limit $v$는 여러개가 나올 수 있음. 다시 말해서 아주 좋은 성질을 갖고 있는 topology는 아니라는 것.
하지만, topology의 이름에 걸맞게, 이제는 $\mathcal{E}$가 continuous하다는 결론을 얻을 수 있지만 내 사견으로는 좀 억지스러운 면이 보이긴 함 (근데 현재로서는 딱히 다른 방도가 없는 것 같음). 이전의 예시에서 결국 accidental parabolics의 등장이 sequence manifold들에서는 나타나지 않지만 limit manifold에서 등장하는 바람에 end-invariant들이 갑자기 변하는 양상들이 보였고, parabolic이 되는 growth rate 또한 영향을 미쳤음. 그렇게 때문에 accidental parabolics만 모아놓은 것들의 convergence만 잘 따지면 기존의 discontinuity를 recover할 수 있음. 따라서 다음과 같은 정의를 함:
$M_n = Q(X_n,Y)$를 sequence converges to $X\in\partial B_Y$라고 하고, $\mathcal{B}_n$을 $X_n$에서 길이가 $B$ 보다 작은 essential simple closed curve들의 집합이라고 하자. 여기서 $B$는 base surface의 topological type에만 의존하는 Bers constant로, 이 가정에 의해서 $\mathcal{B}_n$은 항상 maximal partition을 포함하고 있음. 각각의 $n$에 대해서 $\beta_n^1\in\mathcal{B}_n$을
$${\mathrm{length}_{M_n}(\beta)\over\mathrm{length}_Y(\beta)}$$
를 minimize하는 element라고 하고, inductive하게 $\beta_n^k$를
$$\mathcal{B}_n\cap\mathcal{S}(S-\beta_n^1\cup\cdots\cup\beta_n^{k-1})$$
의 원소로서 위의 ratio를 minimize한다고 하자. 여기서 $\mathcal{S}$는 $S$위에서의 모든 essential simple closed curve들의 집합이라고 하고, $\beta_n^i$ for $i = 1,\ldots,k-1$를 제외한 것들 중에서 뽑았다는 의미다.
따라서 $k$가 늘어날 수록, accidental parabolic이 될 확률은 점점 내려갈 것이다. $k_0$를 maximal $k$ s.t.
$${\mathrm{length}_{M_n}(\beta_n^k)\over\mathrm{length}_Y(\beta_n^k)}\to 0$$
이 되는 index라고 하자. 다시 말해서 모든 $1,\ldots,k_0$ 까지의 $\beta_n^i$들은 모두 accidental parabolic들로 degenerate된다고 볼 수 있다. 다만, 여기서 저 ratio를 잼으로서 convergence rate, 혹은 growth rate을 측정한다고 볼 수 있다.
Definition. $\prod(M_n) = \beta_n^1\cup\cdots\cup\beta_n^{k_0}$.
Theorem 6. Let $X_n\to\infty$ in $\mathrm{Teich}(S)$ determines quasi-Fuchsian manifolds $M_n = Q(X_n,Y)\to M$ in $\partial B_Y$. Then the partitions $\prod (M_n)$ converges to $\mathcal{E}(M)$ in the end-invariant topology.
Corollary 6-1. The laminations $\mathcal{E}(M_n)\coprod \prod (M_n)$ converges to $\mathcal{E}(M)$ in the end-invariant topology.
Theorem 7. Let $\gamma$ be an essential simple closed curve in $S$ and $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$. Then for any other essential simple closed curve $\alpha$ in $S-\gamma$, there are maximal partitions $C_n\to\lambda_H$ in the Hausdorff topology and associated maximal cusps $M(C_n)\to M$ in $\partial B_Y$ for which
(1) $\gamma$ is the maximal measurable sublamination of $\lambda_H$, and
(2) $\alpha$ lies in $\mathcal{E}(M)$.
여기서 이 $\alpha$의 성질을 보면, limit manifold $M$의 end-invariant로 등장하고, 다시 말해서 $\alpha$는 accidental parabolic로 나타나게 됨.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
기하 진짜... 0
진짜 개꿀이당
-
화작 하나만 안틀렸으면....
-
이제 간다 4
오르비 안녕..
-
무섭네 1
무섭무섭무섭
-
영어 야물딱지게 어려웠는데 어캐 1컷이 90임 ㅋㅋ
-
수능 접수 며칠 전까지 해야한다는 기즌 있나요?
-
남자 될까..?? 나 한번도 안해본 초보인데
-
ㅈㄱㄴ N2406 이거 ㅇㅇ
-
저만 기분나쁘나요?? 의자 살살 쳐도 바로 느낌오는데 ㅈㄴ 세게 툭툭 쳐서 기분이 너무나쁨
-
국어는 작수랑 비슷하고 수학은 좀더 떨어질라나?
-
15번 다들 찍맞했구나
-
근데 그걸 호머를 하는사람이 있다고...?
-
미적 뭐냐 ㅋㅋㅋㅋ
-
. 0
난 벌레야.. ㅇㅅㅇ 밥이나 먹어야지
-
ㅎㅎ
-
다 나가 겟아웃!
-
수미잡임 2
아무튼 그렇다 지선 총선 져도 대선을 이기자,,,
-
지금 고1이고 수상끝나고 방학에 수능준비겸 모고준비를 하고싶은데 제가 수상은...
-
뭐지?? 투과목인가
-
엄
-
치대성적이였네
-
나도 연고대가서 3
축제 즐기고 싶다 야발
-
암튼그럼ㅋㅋ
-
너무 괘씸하그든요,,,,
-
전부 모아둔 파일 (아직은 rough하지만) 곧 올리도록 하겠습니다.
-
정시 기균 0
언매 3 영어 2~3 수학 1~2 물리 3 지구1 이면 컴공 어느 대학까지 갈 수 있나요??
-
88 선택 2틀 1등급안뜨면우짜지..
-
ㄷㄷ
-
https://n.news.naver.com/article/016/0002329299...
-
어떤 사람은 수특으로 어떤 사람은 수특 인강으로 어떤 사람은 실모 벅벅으로...
-
기말 첫날 결과 6
전일 60점 심영회 74.6점.. 둘 다 5-6등급 각이네요
-
“올해도 불수능?” 6월 모평 ‘불영어’ 1등급 1.4%…국어·수학도 작년 수능 수준 3
[헤럴드경제=박혜원 기자] 지난 6월 치른 모의평가에서 영어 1등급 비율이 1%대로...
-
ㄷㄷ
-
국어 만점 표준점수 : 148 1등급컷 : 132 2등급컷 : 125 3등급컷 :...
-
[단독] '동탄 화장실 사건' 여성 신고자, 1일 무고혐의 피의자 입건 1
[데일리안 = 황기현 기자] 경기 화성시에서 자신이 사는 아파트 헬스장 옆 화장실을...
-
괜히 9모 망쳐서 현타 올바에 그냥 9모 당일날 내 공부하고 집모로 보는게...
-
하.. 4
뭐먹지
-
8월부터 재수학원다니면 9월에 그학원에서 모고 보게해주나요?
-
내년 개정되는 09년생들이 보는 수능이 28수능이 맞나요 근데 내신이 기말 시험...
-
잇올 신청 0
13시 어쩌구 팝업 떴으면 성공일까요..? 바로 알려주면 되지 이걸 나중에 알려줘서...
-
6모를 너무 박아서 7모라도 정상적인 점수를 받아야겠음
-
궁금해 미치겠네
-
어 한번도 하면 그만이야~싶음 이성적으론 존나 한심한거 아는데 정신과 약때문인가 마음이 너무 편함
-
케석대 케대장 80%지분인가
-
아 살기 싫다 2
인생이 너무 부질없단 생각이 들어 그냥 내가 지금 뭘하고 있는건가 싶기도 하고 그냥...
-
설마 하나하나 파일로 옮겨서 다 옮겨야됨요? 같은 계정으로 로그인하긴했는데 파일은 안옮겨져요
-
그냥머리짧은청년.
-
밥 묵으러 출동 5
아 진심 머먹지 미추어버려
-
옛날 셧다운제 같은것들 생각하면 됨. 당시 셧다운제 발의 국회의원들 셧다운제...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.