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힘내줘요 [1091957] · MS 2021 (수정됨) · 쪽지

2024-08-28 05:08:33
조회수 5,683

메인글 문제 해설 완전판

게시글 주소: https://spica.orbi.kr/00069010568


합 S 곱 T

1. B가 “자신있게” <응너모름>을 외치려면, B가 가진 “합”은 두 소수의 합으로 표현되어선 안 된다.


(거의 사실이라고 알려진) 골드바흐 추측(*2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현할 수 있다)

에 의해, S는 홀수이다. 두 수의 합이 홀수라면, 두 수의 곱은 반드시 2를 인수로 가지므로 합인 S는 2x소수 꼴만 아니면 <두 소수의 합으로 표현될 수 없>다.  따라서 가능한 S의 후보군은  <홀수 중 소수+2가 아닌 것들의 집합>이다. 이 집합을 P라고 이름짓자.

좀 디테일하게 가보자면, 가능한 ”합“ S의
집합은 P{11,17, 23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,93,95,97}일 것이다.


2-1. C는 처음에 답을 몰랐으므로 T(곱)의 약수는 6개 이상이다.(...ㄱ)

2-2

C는 B가 외친 “응너모름”을 듣고 답을 알았으므로, 

C가 알고 있는 T에 대해서 < T에 대응하는 모든 순서쌍을 관찰했을 때, 순서쌍에 대응하는 S들 중 딱 하나만이 P에 속했을 것>이다. 

우선, P에 속하는 S가 존재하려면 T는 홀수여서는 안 된다(...ㄴ, T가 홀수면 쪼개서 더했을 때 짝수-> P에 못 들어감) 


따라서 T는 약수 6개 이상인 짝수여야 한다.

또, P는 전부 홀수이므로 T(곱)을 두 수의 순서쌍으로 쪼갤 때 둘의 합(S)이 홀수이려면 T가 가진 모든 2를 한쪽에 몰빵해야 한다.


위와 같은 규칙으로, 가능한 T의 집합인 Q를 구할 수 있다.


3. B는 C가 ”알겠다“는 이야기를 듣고 답을 알았다. 이는 곧 B가 S를 가지고 만들어 놓은 순서쌍에 대응하는 T들 중 Q에 포함되는 것이 단 하나 여야 한다는 얘기다.(Q의 정의는 윗 댓글 참고)

이때 핵심 아이디어가 등장한다. <2를 몰빵해야 함>에서 아이디어를 얻어 보자


만약 S가 4+p1으로 표현되면서 동시에 8+p2로 표현된다고 하자. (단 p1,p2는 소수)


그렇다면, 위 문단을 참조하면

<모든 순서쌍에 대응하는 T들> 중 Q에 속하는 T가 적어도 4p1, 8p2로 벌써 두 개가 되어 버린다. 따라서 P의 원소들 중 저렇게 표현되는 S들은 답이 될 수 없는 것이다. 


이는 16,32,64에도 마찬가지로 적용된다.(*S는 2+p로 표현되지 않음을 처음에 얘기했으므로 이 경우는 제외 가능)


따라서, P{11,17,23,27,29,...95,97}에서, 2^@ + p 꼴(2<=@<=6)로 표현되는 경우의 수가 두 가지 이상인 P들을 모조리 제거할 수 있다!


이를 모두 제거하고 남은 집합을 P'이라고 하자. 그렇다면 P'는 {17,29,41,53,59,89,97} 이다.

(제가 노가다했습니다 믿어주세요ㅠㅠ)


이제< P'의 원소에 해당하는 S>를 가지고 만들어 놓은 순서쌍에 대응하는 T들 중, Q에 속하는 것이 1개가 아닌 경우만을 제거하면 된다.


Q에 속하는 T를 나열하는 것은 비직관적이니, “곱이 Q에 포함되도록 하는 순서쌍“을 S를 기준으로 하여 나열하자.

(두 개가 되는 순간 더 세지는 않았습니다.)


S=29: (2,27) (4,25) 

S=41: (4,37) (16,25)

S=53: (16,37) (40,13) 

S=59: (16,43) (4,55)

S=89: (16,73) (64,25)

S=97: (8,89) (16,81)


S=17: T가 Q에 속하는 순서쌍이 (4,13) 하나로 유일함.

따라서, “두 수의 합”이 100 이하라는 전제 하에서는 (4,13)만이 유일하게 가능한 순서쌍임이 증명되었다.(범위고려안해도 유일한 해인지는 모르겠네요)

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