다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 
로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 
이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수
에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 
이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
마라탕을 매주먹기vs 14
그돈 아껴서 음주하기
-
2025 킬링캠프 시즌2 6회 리뷰 시즌2는 드디어 다 풀었네요 시즌1은 다 풀지...
-
지구 수특 1
지구보는 사람이라면 수능전에 수특은 무조건 풀어봐야할까요? 분량이 많은편인지.. ㅜㅜ
-
이감 칠때마다 70후반이고 진짜 가끔 80초반으로 올라가는데 문학에서 시간이 항상...
-
네..
-
유독 이 실모에서 탈탈 털렸네요 ㅠㅠ
-
님들 도와주세여 5
길가다 어떤 학생들이 와서 뭐 설문조사한다고 해서 전번 주고 링크 받아서...
-
영어 평가원 듣기는 안 틀리긴 하는데 실모 풀때 가끔 한 두 개씩 듣기 틀림.....
-
과잠입고 수능보기 15
같은짓은 하시면 안돼요
-
잇올...... 1
이제 고3 올라가는 고2학생입니다. 다들 이번 고3올라가는 겨울방학이 가장 중요하다...
-
있나요 ??
-
실시간 큰일남 28
오지마오지마오지마오지마
-
생윤 모겐소 1
국제정치에서는 협상과 국제법을 통해 평화를 실현해야한다(x) 국제관계에서는 평화는...
-
대성에서 산 강k+ 지구 화학 등급컷 어디 올라와있는지 아시는분..
-
대성패스 메가커피 다같이 받아요 ohminseo0510 0
추천 ID ohminseo0510 메가커피 다같이 냠냠~
-
수능 수학 0
서바 난이도가 5라하면 작수랑 수능 평균은 몇 정도 될까요 체감상요 수능평균<작수<서바 인가요?
-
수학 십련아 4
뺨 존나때리고싶네
-
루소가 칸트에게 비판하는 ㄴ선지 칸트=살인자=무조건 사형 루소=살인자=추방도 가능...
-
바니바니바니바니 2
당근당근
-
81점인데…. 9번 17번 틀 머지…
-
Q. 아래 디딤문제4에 대한 질문입니다. 에이어에 의하면 '도둑질은 나쁘다'가...
-
마지막회차라서 올리는... 21번틀 96 30번 딱 답내고 종쳐서 와 딱맞게...
-
뼈맞음 10
아야...
-
하
-
23수학 공통1틀 통통2틀이라는 레전드 커리어를 쌓았어서 미적하려하는데 (수1,2...
-
나랑 나이차이 얼마 안 날거같은 사람들도 있네..
-
수능 껌 2
혹시 수능장에서 껍 씹어도 되나요?? 긴장 너무 될 거 같아서...
-
킬캠 2-2 2
왤케어렵냐 하
-
저만 어려웠나요ㅜ
-
미적분 자꾸 3-4개 못푸는데 ㅈ댓네 하 지인선도 282930다 못풀겠음
-
22수능 매체 다시 보고 있는데 42번에 4번 선지에서 "지문 등 사전등록제가 어떤...
-
요즘 공부가 심각하게 안돼서 남은 11일 동안 같이 진짜 열심히 하실 분..!
-
디데이 모고 분석노트말고 해설지는 없나요? 너무 궁금한게 많아서
-
초기비용이 많이 들어서 오히려 손해 볼수 있지 않나요? 아니면 그냥 사명감으로...
-
대성 신규입성 얼굴은 나왔는데 누군지 모르겠네요 6명입니다 13
누구인가요 간단한 설명좀요
-
설맞이 강철중 0
재밌네요 객관식이 찍기 좀 좋게되어있어서 예상 1컷이 84정도? 순수 난도로만 보면...
-
루소가 칸트에게 비판 칸트=살인자=무조건 사형 루소=살인자=추방도 가능 그럼 ㄴ...
-
[속보]푸틴 측근 드미트리 메드베데프 “우크라이나 나토 가입시키면 ‘3차대전’” 1
핵 교리(독트린) 변경도 거론 러시아 블라디미르 푸틴 러시아 대통령 측근이자 전...
-
이제 별 다섯개 되는건가 ㄷㄷㄷ
-
이감더프상상 90점대를 벗어난 적이 없는데 작수는 가차없이 88이네 2
어메이징.....
-
4번에 여성영웅의 역할을 남성 주인공의 조력자로 한정짓는다길래 지아비가 “주인공”...
-
강기분 언매 3
예비 고3 정시파이터인데 강기분 언매 지금 구매해서 들어도 될까요? 아니면 수능...
-
하는 사람들의 심리가 개 궁금하다 다른 모고도 다마찬가지.. ㅇㅇ 거의 돈버리는 거나 마찬가진데
-
주제가 어려운 글이 아니라 표현을 게갓이 꼬아놓았는데 보면 볼수록 걍 실패한 작문이...
-
1회 96에서 2회 80..? 너무 어려운데;;
-
솔직히 존잘 물론 이분은 일반인 이분도 일반인 이분은 사진에 따라 좀 달라보임...
-
-
지방으로 갈 수 있다는 점 같음. 서울에 집잇는 사람은 뭔 개소린가 싶을수 있는데 ㄹㅇ임
-
상상 파이널 여론이 많이 안 좋은데 유기할까 아직 안 푼거 많은데 수능때까지 1일1실모 하려고 함
-
잇나요? ㅜㅜ 어케해결하죠
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다