[수학의 기준] 개념을 효과적으로 공부하는 방법
게시글 주소: https://spica.orbi.kr/0004324086
개념을
통해 무엇을 배워야 할까?
안녕하세요, '수학의 기준'의 백경린(Dost)입니다.
지난 칼럼에 이어 이번에는 개념을 공부하는 방법에 대해 좀 더 자세히 다뤄보고자
합니다.
수학공부에
관한 상담을 하다보면 이런 하소연을 하는 학생들을 종종 만나게 됩니다.
'수학을
잘하려면 무엇보다 개념을 정확히 이해하고 증명까지 할 줄 알아야 한다는 얘기를 듣고,
교과서의
모든 개념들을 증명까지 완벽하게 독파하였습니다.
그런데,
시험
성적에는 별다른 변화가 없습니다.
대체
무엇이 문제인가요?’
1.
개념에
사용된 논리는 무엇인가!
문제는
어떤 개념에 대한 증명 과정을 이해하고 직접 설명까지 할 수 있더라도 거기에 쓰이고 있는 논리가 무엇인지를 파악하지 못했다면 실전에서는 거의
쓸모가 없다는 사실입니다.
(학기
초이니 가능한 한 쉬운 예를 들어 보겠습니다.)
가령,
등차수열
{an}의
일반항이
an=a1+(n-1)d
(a1:첫째항,
d:공차)
임은
누구나 쉽게 증명할 수 있는 내용입니다.
하지만,
위와
같은 공식을 증명하고 이해했다고 해서 등차수열에 관한 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 것은 아닙니다.
실제로
변별력을 가지는 문제들을 해결하는데 사용되는 것은 단순한 증명 과정이 아니라 그 안에 담겨 있는 논리이기 때문이지요.
등차수열의
일반항에 담겨 있는 논리란 임의의 n번째
항을‘결정하는
요소’가
무엇인가로 요약될 수 있습니다.
물론
그 결정요소는 일반항의 표현에 나타나 있듯이‘첫째항과
공차’입니다.
즉,
3, 5, 7, 9, 11, …
과
같은 수열의 100번째
항을 알고 싶다면
3+2·0,
3+2·1,
3+2·2,
3+2·3,
3+2·4,
…
과
같이 각 항을 결정하는 요소로 나타내는 것이 훨씬 효과적이라는 얘기입니다.
∴ a100= 3+2·99
2.
그
논리는 얼마나 효율적이며 보편적인가!
사실
어떤 대상을 그것의 결정요소로 표현하는 것은 수열뿐만 아니라
다른
수학적인 개념에서도 공통적으로 확인할 수 있는 논리입니다.
이것은
많은 개념들을 이해하는데 그다지 많은 논리가 필요하지 않다는 뜻이기도 합니다.
그렇다면
별로 대단할 것도 없어 보이는(?)
위와
같은 논리가 변별력 있는 문제를 해결하는데 얼마나 효과가 있을까요..
2011학년도
수능 (오답률
50%)
2이상의
자연수 n에
대하여 집합 {3(2k-1)
|
k는
자연수,
1≤k≤n}의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 S라
하고,
S의
원소의 개수를 f(n)이라
하자.
예를
들어,
f(4)=5이다.
이때,
f(2)+f(3)+…+f(11)의
값을 구하시오.
[4점]
Sol》우선,
3(2k-1)꼴의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 값은 서로 다른 지수의 값들(2k-1)의
합과 같습니다.
(예)
31×33=31+3)
이때, 예시로 주어진
f(4)의
값이 왜 5가
되는지 분석해 봅시다.
f(n)의
규칙성이 존재한다면 f(4)일
때의 규칙성이 f(2),
f(3), …,
f(11)일
때도 동일하게 적용되고 있을 테니까요.
(주어진
예시를 이용하여 규칙성을 추론하는 것은 실수를 미연에 방지할 수 있는 좋은 수단이기도 합니다.)
n=4일
때,
3(2k-1)꼴에서
지수의 값만 적어보면
1, 3, 5, 7
인데,
여기서
서로 다른 두 원소를 더하여 나올 수 있는 결과가 5가지임을
효율적이고 정확하게 확인하는 방법은 무엇일까요?
또,
그 방법을 n이
다른 값을 가질 때도 일반적으로 확장시킬 수 있을까요?
그 길이 잘 보이지
않는다면,
앞서
설명한대로 첫째항이
1이고
공차가 2인
등차수열
{2k-1}을
그 결정요소로 나타내 봅시다.
즉,
1+2·0,
1+2·1,
1+2·2,
1+2·3
이므로,
여기서
서로 다른 두 원소를 택하여 더하게 되면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(2+3)
공차가
항상
2이고
항의 개수가‘(2+3)’인
등차수열이 만들어진다는 것을 정확히 확인할 수 있습니다.
같은
방식으로 n=m이면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(m-2 + m-1)
이므로
공차가 항상 2이고
항의 개수가‘(2m-3)’인
등차수열이 만들어지게 됩니다.
∴ f(m)=2m-3
따라서
구하는 값은 1부터
연속된 10개의
홀수의 합을 나타냅니다.
∴ f(2)+f(3)+…+f(11)=102
문제의
난이도가 높아질수록 개념 속에 담겨 있는 논리들을 이용하는 것이 얼마나 효과적인지 더욱 확실히 체감할 수 있습니다.
아무리
많은 지식과 유형을 익혀도 자신의 실력이 늘고 있다는 느낌을 받지 못한다면, 다시 개념으로 돌아가 증명 과정이나 결론 속에 담겨 있는 실제적인
논리가 무엇인지를 잘 파악해 보시기 바랍니다.
그리고
다양한 문제를 통해 자신이 이해한 논리가 얼마나 효율적이며 보편적으로 사용될 수 있는지를 꼭 확인해 보아야 합니다.
이렇게
자신의 논리를 다듬어가다 보면 어느새 전혀 다른 수준에서 문제를 이해하고 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다!
~ 읽어주셔서 감사합니다 ~
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
전화번호를 해지한지 반년정도 됐는데 어차피 폰을 안봐서 번호를 없앴거든요 근데...
-
아까 병원갔을땐 37.2도였는데 ㄹㅇ 머리가 왤케 아프지 어지러움
-
배달으로 목을지 나가서 목을지 고민중
-
국어 > [리트 전개년 기출 언어이해] 2023 19~21 > [리트 전개년 기출...
-
손절당하면 2
어쩌지…. 내가 잘못했는데….도무지 마음 풀어드릴 기회가 없네 역시 자살만이...
-
정주행 하고싶네 수능 끝나고 정주행해야디ㅣ
-
외국인 대신 홍명보 선임한 이유는… 축협 “원팀 리더십과 전술” 1
대한축구협회(KFA)가 홍명보 울산 HD 감독을 축구대표팀의 새로운 사령탑으로...
-
남들보다 관리해야할 체력바가 한칸 더 늘어나는 느낌 남들은 인생살면서 신경조차...
-
안녕하세요, 부적 제작에 대한 기존 글에 댓글이 너무 많아져서 새롭게 글을 작성할...
-
인강 추천 해주실 수 있나요? 30대 아저씨고 전공은 통계학입니다 그냥 일반화학...
-
새기분 오티 0
새기분은 오티가 없나요??
-
비오던 작수가 어제같다..
-
같은과 22학번이시고 난 23학번이야 아마 동갑이거나 한살 많을거같은데 계절학기...
-
연 VS 고
-
?
-
좀 성불하고 싶다…
-
시간 재고 푸시나여 아니면 그냥 n제처럼 푸시나요 국수영탐 전부다
-
9평 얼마 남지도 않은 시점에 강사 환승? 망하는 지름길. 투커리는 괜찮으니 차라리 투커리 하십쇼.
-
지금 기숙으로 6
7월에 환경 바꾸는건 너무 별로일까요? 여름 되니까 통학할 체력 슬슬 떨어지기도...
-
괄호 seven으로 확인사살 ㅋㅋ
-
팔로워가 갑자기 세포 분열해서 다시 하는 자료 안내 0
1. Cementation 주간지 1-1. 고체, 유체, 천체 각 4주씩 총 12주...
-
엄소연t 괜찮나요? 현우진t 커리 베이스라 n축 같은 잡다한 스킬 잘 모르는데 따라갈 수 있을까요
-
확통황형아들 도와주세요 10
더프 27번인데 이 문제 정석풀이가 어떻게 될까요? 해설지봐도 이해가 안가네요
-
아니 버스기사 씨발 하 11
25분차인데 22분에 출발햇대 나 23분에 도착했는데 어쩐지 ㅅㅂ 지금까지 안 와서...
-
아직 첫영상이라 서툰점이 많습니다 조만간 짧은 문풀영상 올릴 예정입니다 심심할때...
-
운동합시다 0
신승범입니다
-
궁금함요 누가 어디에 투표했는진 저도 모르고 아무도 모릅니다
-
Q. 한국 사회에 만연한 혐오와 차별에 대해서 (인종(조선족, 중국인, 일본인,...
-
요즘 개나소나 메디컬 가겠다고 수능 ㅈ으로 보고 다 수능판 들어오는거 같은데 아예...
-
대 상 혁 0
-
4규 s1 드릴 54 했어요 그다음 이미지t 하프모 하사십과 같이하고 싶은데 추천좀요
-
수학 미적 기출 풀려니까 앞부분이 괜히 3모 4모때문에 양만 많아진 거 같은 느낌이...
-
길고 길었다 1.07 or 1.11 나올듯
-
답이 아닌 이유는, 답이 아니기 때문입니다! 해설에만 의존하기엔 불안한 감이 있음
-
왜 이렇게 빨리 오시는데 전력질주 하셔?
-
삼각형 PQS랑 삼각형 QOR이 닮음이니, 선분QS랑 선분OQ를 1:m으로 두고,...
-
강기분 언매랑 언매클리어 둘다 들어보신분 계신가요?
-
현재 지방한 다니고 있고 8월부터 공부 시작할까 하는데 수능 끝나고 아예 공부를 안...
-
비 많이오네 0
-
많이 쉬워진거 맞지않음?? 제가 현역 20학번 성대인데 군대 다녀와서 수능 4개월...
-
미시룩 쌉존예 카페사장누님이 커피안질리냐고 해서 아 너무맛있어서 매일마셔요 하니까...
-
문제집에는 한시간이라는데 보통 20~30사이에 끝남
-
해탈 1일차 0
어차피 안 될 건 안 될 거다 망할 걸 알고 있으면서도 붙잡으려 하는 건 내 건강과...
-
성적 ㅇㅈ. 5
이건 복구 가능하냐
-
뉴깅이 점심먹자 0
넵 일단 학습 체크 국어 고전어휘 102제 1시간플러스 국어 모른 단어 적어둔거...
-
이렇게 재수를 하게 되고.....
-
고전소설, 고전시가 두개만 다루는 책이 있을까요? 찾아보니 다 고전시가만 보이는데..
-
강E분
-
많을수록 좋은건가요 n티켓같은 거 8개 중에 2개정도만 풀 수 있으면 이 문제집은...
-
수특수완가쥬아 1
며칠간 폐관수련을..
잘 읽었습니다 유용하네요
이좋은글에 왜 댓글이없죠?ㅠㅠ 감사합니다 잘읽었어요!ㅎㅎ
그래도 알아보시는 분들이 있어서 다행입니다ㅎ
ㅠㅠ앞으로도 학습관련 게시물 많이 올려주세요~~꼭꼭 챙겨볼게요!ㅎㅎ
스크랩 ~~~~~
출처만 정확히 ~
굿굿굿굿굿!
이런 게시글의 논지를 담고있는 책 추천 좀 해주세요..
오르비 북스(Books)에 있습니다.
좋은글 잘 읽었습니다!!!
정말정말 좋은글입니다.
수능수학은 이 글안에 해법이 다 있다고 해도 될듯하네요