기하 30번문제가 주는 교훈(2022수능예비)
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현 고2를 위하여.
문제가 주는 교훈.
좌표축을 그리고 구에 접하는 직선을 그리고 삼각형 ACP를 관찰해봅니다.
변하는 길이는 하나도 없고 삼각형 ACP을 지나는 원의 중심과 반지름은 정의됩니다.
이때 삼각형 ACP의 넓이는 고정되고 xy평면에 정사영을 했을 때 최대값을 구하려면
에서 변수는 세타 하나 뿐입니다.
이제 그림을 그리며 관찰을 시작했을때 90도를 넘어갈 수 없다는 것을 알고
cos값이 최대가 되려면 각 세타가 최소가 되면 됩니다.
(편의를 위해 z축으로 -1만큼 이동시킨점으로 그림을 그렸습니다.)
그림을 그려보았는데 세타가 언제 최소가 될지 아직 모르겠다면
위 그림의 정사영 S'가 최대가 될때 밑변이 고정되어 있으므로 P'가 가장 멀리 있으면 됩니다.
그럼 구위의 점 p또한 가장 멀리 있는 순간 세타값이 최소가 된다는 이야기이겠지요. (S'의 넓이가 최대)
이제 점P의 자취인 원에서 가장 멀리있는 점을 '관찰'하면 됩니다. (선분A'C'를 중심축으로 A'P를 모선으로하는 원뿔의 밑면이 점P의 자취입니다.)
결론. 이 문제는 추론영역이며,
출제의도는
'정사영의 넓이가 최댓값을 가질 때의 위치관계를 추론할 수 있는가?'
이전 교과과정처럼 점 ACP를 지나는 평면의 법선벡터를 활용한 접근은 이제 틀린 접근이 됩니다.
선분A'C'를 중심축으로하는 회전의 접근은 가능하나 법선벡터를 구하려는 것 자체가 교과과정이 아니기 때문입니다.
이 문제에서 얻을 수 있는
교훈은 '이제 공간벡터가 빠졌다'는 것.
그리고 '직선의방정식, 평면의 방정식단원이 없다'는 것.
그래서 '이전에 알고 있던 공간벡터로 접근하면 훨씬 더 복잡한 연산이 될 수 있다'는 것 입니다
.-로피탈을 썼을때 불리해지는 문제가 나왔던 것 처럼. 코사인n차식이 나왔던 그기출... - (공간벡터를 써도 문제는 풀릴 것입니다. 그러나 적어도 평가원문제에서는 유리하지 않을 것입니다.-사실 교과 외이므로 이런 생각 자체를 할 필요도 없겠지요.)
즉, 공간도형을 소재로한 문제의 해결전략 자체가 '간명해 졌다' 할 수 있습니다.
공간도형의 문제해결의 행동영역은 공간의 해석이 안될 경우
단순화 하는 것부터입니다.
'평면화'해보고 차원을 줄여보고 (평면도형(면)은 선으로 선은 점으로!)
현 수험생은 미적분 공부 열심히 하세요!
질문하고 생각하는 수학
언제나 꾸준함이 기적의 유일한 비결입니다.
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와 직선, 평면의 방정식이 빠졌군요
네 맞습니다!근데 이정도 수준의 문제는 예전에 29번 기벡 문제보다는 쉬운 수준 아닌가요? 당장 18학년도 29이랑 비교해도 엄청 쉬운 느낌이던데
"즉, 공간도형을 소재로한 문제의 해결전략 자체가 '간명해 졌다' 할 수 있습니다."
본문에 있습니다.
최근의 수능과는 다르게 킬러보다는 준킬러가 많아지고 2,3,4등급의 학생들을 정확하게 선별하겠다는 의지가 보입니다. 이전 16년 이전의 수능처럼 등급컷이 단 한문제 차이로 등급컷이 갈리지 않게끔 수능이 다시 변하고 있습니다.(최근 969288컷형성이 아닌) 개인적으로는 매우 긍정적이라 생각합니다.
저도 개인적으로 좋은거 같아요. 좋은글 감사합니다!!아니 29번수준이 ㅠ 풀이로드맵 떠올리는 시간이 1분도 안걸리다니,,, 내년수능도 봐볼만한것인가!
이렇게풀면 안되요??
배운자의 스킬 정도로 쓰면되나요?
네. 적어도 현 고2들을 가르칠때는 사용하면 안됩니다. 공간상의 벡터연산 자체가 사라졌습니다. 교과과정 외 라는 것이지요. (심지어 주관식이라면 감점이 될 것입니다. 수능이 단답이라 그럴리 없지만... 논술에선 감점의 요소입니다.)이것을 알 때 유리하지 않게 낼 가능성이 높습니다. 글에 적혀있듯...
풀이의 양이 비슷하지 않고 더 많은 연산을 요구한다면 그자체가 비효율적일 것입니다.
그래도 만약 공간벡터 연산의 풀이 양이 비슷하다면, 그 이전에 벡터 연산을 공부하는 시간 자체가 엄청나게 길었을 겁니다. (공간벡터를 이해시키는 일부터 연산하는 것 공간상의 내적값을 이해시키는 것, 그 이후 위치벡터와 법선벡터 그것을 이용해 평면을 정의하는 것 등...)
이전 교육과정에서
중2 아이들에게 닮음비 문제를 풀며 피타고라스를 가르쳐 주었을때 그 풀이가 익숙해지면 직각삼각형이 아닌 경우 닮음 자체를 찾지 못해 풀지 못하는 일이 많습니다.
그 단원에서 배워야할 관점들을 다 배우지 못하는 경우가 생기겠지요.
완벽하시네요. 저번에 인투더 수학1 올리신것 퀄리티보고 멋있다 생각했습니다. 이렇게 정리하면 제 글이 뭐가 없어보네요...ㅜㅡ사실 완벽하지 않은 게.. 마지막에 정답 : 27이라는 깨알 오타가 있습니다 ㅋㅋ
좋게 봐주셔서 감사합니다
그거보고 물어보는게 3×(p+q)였나...? 생각했습니다 ㅎㅎㅎ
아 그리고 해설지에 저렇게 그림 그리는거 유튜브에서 강의하시는거 본거같은데... 제가 스쳐가듯 봐서... 혹시 제대로 배워볼수 있을까요?? 혹은 그 영상 링크를 볼수있을까요?
http://db.kockoc.com/MathIllustHelper/introduce.html
감사합니다. 정말. !