한달동안 생각했는데 안풀려서 다시 질문드립니다
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중앙교육 수학익힘책 p320 10번 문제입니다
한번 올렸던 질문입니다 한달내내 생각한건 아니지만 틈틈이 생각해도 아이디어조차 떠오르지가 않네요
n이 홀수이면 nCr을 n으로 나누면 왜 나누어 떨어지지않는지 설명해주세요
단, r은 0<r<n 입니다
n이 짝수일때는 나누어 떨어지나요??
익힘책문제라 계속 생각하면 풀리겠지 생각했는데 안 풀리네요
답변 부탁드립니다
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문제가 nCr 에 대해서 묻는거에요? 시그마 nCr을 묻는거에요?
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nCr에 대해서 묻는겁니다
고등학교 1학년 조합 내용입니다
n=3,r=1 3C1 /3 =1 나눠 떨어지는데요 ?
nCr / r = n * n-1Cr-1 이라서 r로나누면 나눠떨어지기는하는데 문제 맞는지 다시확인좀.
이미설전컴님 답변 고맙습니다
정확하게는
(1) n(n+1)(n+2)...(n+r-1)은 r!(r팩토리알) 로 나누어 떨어진다
(2) n이 홀수이면 nCr은 n으로 나누어 떨어진다(단, 0
이건 n이 짝수 홀수냐에 따라 성립하고 안 하고의 문제가 아니라, 약간 복잡합니다.
n을 소인수분해해서 n= p_1 ^e_1 * p_2 ^e_2 * ... * p_s ^e_s 이 되었다고 할게요. (p_i 들은 서로 다른 소수, e_i 들은 자연수.)
예를 들어 n=2^3 * 3^2 이면 p_1 =2 , e_1 =3 , p_2 =3, e_2 =2 이런 식이겠지요.
먼저, m! 에 들어 있는 소수p_1의 개수는 sum_{k=1}^{무한대} [ m/(p_1 ^k) ] 입니다. ( [ x ] 는 가우스 기호로 x 이하의 최대 정수 나타냄.)
따라서 nCr = n! / ( r! (n-r)! ) 에 들어 있는 소수p_1의 개수는 sum_{k=1}^{무한대} ( [ n/(p_1 ^k) ] - [ r/(p_1 ^k) ] - [ (n-r)/(p_1 ^k) ] ) 입니다.
따러서 n을 나누는 소수 p_ i에 대해서(i=1,2, ... ,s) 위의 값 sum_{k=1}^{무한대} ( [ n/(p_i ^k) ] - [ r/(p_i ^k) ] - [ (n-r)/(p_i ^k) ] ) >= e_i 이면 nCr 이 n의 배수가 됩니다.
이를 달리 말하면, n, r, n-r 세 수를 p_i 진법으로 표기해서 r과 n-r을 더하면 n이 나올텐데, 이 때 자리올림이 e_i 번 이상 나오면 nCr이 n의 배수가 됩니다.
(자리올림을 정확히 정의해야 하는데, r과 n-r의 p_i진법 표현에서 대응되는 동일한 자리번째 숫자끼리 더해서 그 뒷자리로(일의 자리 가까운 쪽을 앞쪽으로 보겠습니다.) 자리 올림이 있느냐 없느냐 보는 개념입니다. 이 때 더 앞쪽자리에서 올라온 1이 있다면 이것도 물론 더했을 시, 자리올림이 있는지 없는지를 보는 것이고요.)
예를 들어 9C3이 3을 몇 개나 가지고 있는지 보려면 (3으로 몇 번이나 나누어지는지..)
n=9, r=3, n-r=6인 상황에서 3진법으로
r = 10
n-r= 20
n =100
이렇게 되는데, 1의 자리에서 3의 자리로는 자리 올림이 없고, 3의 자리에서 9의 자리로는 자리 올림이 있으니까, 총 자리 올림 횟수는 1. 따라서 9C3은 3을 정확히 1개만 가지고 있는 것이니, 3^2의 배수는 될 수 없겠지요.
8C3을 보면, n=8, r=3, n-r=5이고 2진법으로
r = 11
n-r= 101
n = 1000
에서 1의 자리->2의 자리 로 자리 올림 있음. 2의 자리->4의 자리 로 자리 올림 있음. 4의 자리->8의 자리 로 자리 올림 있음. 총 횟수 3.
따라서 8C3은 2를 3개 가지고 있고, 2^3의 배수임. (2^4의 배수는 아니고요)
syzy님 정말 고맙습니다
정말 상세하게 성의있게 가르쳐 주셔서 감동입니다
정말 감사해요
댓글 달아주신 모든분들 정말 고맙습니다
큰 도움이 되었습니다